論數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

[摘要]加強數(shù)學(xué)建模教學(xué)對于提高學(xué)生解決實際問題的能力十分重要，是開展數(shù)學(xué)素質(zhì)教育須深入討論的課題。在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，對培養(yǎng)新型創(chuàng)新人才具有重要意義。

[關(guān)鍵詞]素質(zhì)教育 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型

當(dāng)前，我國數(shù)學(xué)教育改革以“數(shù)學(xué)素質(zhì)教育”為目標(biāo)，以問題解決為突破口，高考逐步加大了“問題解決型”的應(yīng)用題的考查力度，中學(xué)數(shù)學(xué)教師加強了數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)。然而，考察了近幾年高考考生應(yīng)用題得分率仍然偏低，說明應(yīng)用題的教和學(xué)還是應(yīng)深入探討的課題。經(jīng)過反思與分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生處理應(yīng)用問題的困難在于無法從紛繁復(fù)雜的實際意義之中領(lǐng)悟出蘊含的數(shù)學(xué)知識和規(guī)律，教師一般也只是將一些零散典型的應(yīng)用題進行簡單匯集，缺乏完整的數(shù)學(xué)應(yīng)用體系。因此，建立數(shù)學(xué)應(yīng)用體系，加強數(shù)學(xué)建模的教學(xué)勢在必行。

一、數(shù)學(xué)建模的概念和特點

所謂數(shù)學(xué)模型是指通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實際現(xiàn)象的一個近似的刻劃，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。

數(shù)學(xué)建模問題存在于我們的周圍和日常生活之中是開展探究性學(xué)習(xí)的好題材。數(shù)學(xué)建模包含了合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的諸多因素和作用。數(shù)學(xué)建模是提高參與者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種很好的形式。越來越多的國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者都有這樣的認識，數(shù)學(xué)知識的掌握不全是教出來的，而是自己做出來的。數(shù)學(xué)建模正好是一個學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的過程，它體現(xiàn)了學(xué)和用的統(tǒng)一。

二、數(shù)學(xué)建模對學(xué)生的培養(yǎng)

1.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本指導(dǎo)思想是提高學(xué)生的素質(zhì)，其中包括用數(shù)學(xué)的觀點、思想去觀察、解釋和表示事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式和數(shù)據(jù)信息，形成量化意識；通過解決各種各樣的問題以掌握數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，并培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣等等。所有這些數(shù)學(xué)素質(zhì)都可以在數(shù)學(xué)知識的運用過程當(dāng)中得到有效的培養(yǎng)。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識地滲透數(shù)學(xué)建模思想，提出一些源于實際的數(shù)學(xué)問題，或?qū)ふ一驑?gòu)建數(shù)學(xué)模型，進而通過解決數(shù)學(xué)問題來解決實際問題，使學(xué)生感到現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的目光觀察問題和分析問題的能力。

2.提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

數(shù)學(xué)學(xué)科概念和定理都很抽象，沒有良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣很難學(xué)好，往往一部分學(xué)生中途掉隊，產(chǎn)生厭學(xué)心理。教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)盡可能提出一些讓學(xué)生感興趣的蘊含一定的數(shù)學(xué)思想和方法的實際問題，滲透建模思想，激發(fā)學(xué)生的求知動機。而建?；顒痈鼤龑W(xué)生，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變被動為主動。

3.有利于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的整體處理和創(chuàng)造性處理問題的能力

數(shù)學(xué)模型是實際問題與數(shù)學(xué)問題之間的橋粱，而建模本身就是一種創(chuàng)造性活動，在用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中問題時，有的有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，而對大部分實際問題來說，則沒有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模式。此時，就需要學(xué)生深層次的分析問題，發(fā)掘?qū)嶋H問題與數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，往往在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，用到的并非單一的數(shù)學(xué)知識點，而是多個知識點的綜合。教學(xué)中教師有意識地滲透數(shù)學(xué)建模思想，可以提高學(xué)生綜合運用知識的能力，提高學(xué)生整體處理問題的能力。

洞察能力許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模工作者善于從實際工作提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

數(shù)學(xué)語言翻譯能力，即把經(jīng)過一定抽象和簡化實際問題用數(shù)學(xué)的語言表達出來，形成數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計算得到的結(jié)果，能用大眾的語言表達出來，在此基礎(chǔ)上提出解決某一問題的方案或建議。

綜合應(yīng)用分析能力即用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和進行綜合應(yīng)用分析，并能學(xué)習(xí)一些新的知識。

聯(lián)想能力是指對于不少的實際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下，它們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的，這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)。這就是培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實地工作，通過熟能生巧達到觸類旁通的境界。

由于數(shù)學(xué)建模是以解決實際問題和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力為目的，因此它的教學(xué)內(nèi)容和方式是多種多樣的。從教材來看，有的強調(diào)數(shù)學(xué)方法，有的強調(diào)實際問題，有的強調(diào)分析解決問題的過程；從教學(xué)方式來看，有的以講為主，有的以練為主，有的在數(shù)學(xué)實驗室中讓學(xué)生探索，有的帶領(lǐng)學(xué)生到企事業(yè)中去合作解決真正的實際問題。

下面我們來討論源于現(xiàn)實生活中普通的實例。

“免費抽獎”問題

當(dāng)學(xué)生們學(xué)習(xí)了排列組合以后，即可討論以下問題：每到節(jié)日，在人多的地方總有人擺設(shè)攤點，讓人免費抽獎，而一等獎都是很豐厚誘人的。例如下文的抽獎條件：一個布袋內(nèi)放入20個玻璃球，紅、白各l0個，游人可從布袋隨意抓出l0個球，如抓到：

1. 10個同顏色的，l0個紅的或l0個白的，可得一等獎200元；

2. 9個同顏色的，9紅l白或9白l紅?？傻枚泉?0元；

3. 8個同顏色的，8紅2白或8白2紅，可得三等獎2元；

4. 7個同顏色的，7紅3白或7白3紅，可得四等獎l元；

5. 6個同顏色的，6紅4白或6白4紅，可得五等獎0.5元；

6．只有當(dāng)抓到5個紅球或5個白球時才罰游客五元錢。

抽獎條件似乎很優(yōu)惠，六種抽獎結(jié)果中五種對游客有利。其中一等獎獎金額還挺高的，只有一種結(jié)果不利，賠五元錢。其實這個抽獎條件有很大的誘惑力，也有很大的欺騙性。

現(xiàn)在我們用概率統(tǒng)計中的排列組合知識來分析一下抽獎攤主與游客之間的對局，看看對局對誰有利。從20個相同的球中，隨意抽出l0個球有=184756個結(jié)果。這184756個結(jié)果，每一結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相同的，它們可分為11組，其中第i組里的結(jié)果有包含i個白球組成，第i組的結(jié)果數(shù)目等于從l0個紅球中抽取i個球的組合數(shù)乘以從l0個白球中抽取10-i個球的組合數(shù)，即，其中i=l，2，…，10。

11個組的結(jié)果數(shù)目的和等于，即：

=l×l+10×10+45×45+120×120+210×210+252×252+2lO×210+120×120+45×45+10×10+l×l

=l+l00+2025+14400+44l00+63504+44l00+14400+2025+l00+l

=(1+1)+(100+100)+(2025+2025)+(14400+14400)+(44100+44100)+63504

= 2+200+4050+22800+88200+63504

= 184756=

這個等式即表示：每抽獎184756次，平均2次是“十個球同色”，有200次“九個球同色”，有4050次“八個球同色”，有28800次“七個球同色”，有88200次“六個球同色”，有63450次“五個球”同色。也就是從一等獎到五等獎，平均可得獎金：

2×200+200×50+4050×2+28800×l+88200×0.5

=400+l0000+8l00+28800+44l00

=91400(元)

平均挨罰：63504×5=317520(元)

因此每抽獎184756次，抽獎人員損失317520-91400=226120(元)，對于一個公平的對局來說，得失應(yīng)持平，獎金和罰金應(yīng)相等，所以這樣的對局是對游人的不利，我們只用了中學(xué)數(shù)學(xué)中的排列組合便分析了出來，一般人是想不到也是想不通的。應(yīng)該注意到老師不可能解決學(xué)生提出、想到的所有問題，但不要為此去限制學(xué)生的思維的疆域，而應(yīng)該引導(dǎo)他們在更有數(shù)學(xué)背景的方向上積極思考，有所發(fā)現(xiàn)、有所領(lǐng)悟、有所存疑，這樣才能體現(xiàn)問題本身更多的思維價值。

像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如，有兩家液化氣站，已知每瓶液化氣的質(zhì)和量相同，開始定的價也相同，為了爭取更多的用戶，兩站分別推出優(yōu)惠政策：甲站的辦法是實行七五折出售，乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售，兩站的優(yōu)惠期限都是一年，你作為用戶，應(yīng)該選哪家好？

組織數(shù)學(xué)建模教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題。在教學(xué)過程中還要重視教材，深入鉆研教材，教材中幾乎每年都有一定量及具有典型性的數(shù)學(xué)建模素材，靠我們?nèi)グl(fā)掘，并從中總結(jié)出數(shù)學(xué)建模思想，如可以用數(shù)列思想解決分期貸款的還款問題。在中學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，還可以開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。數(shù)學(xué)對學(xué)生的培養(yǎng)，不只是數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式，更重要的培養(yǎng)學(xué)生一個正確的思想方法，而且依據(jù)自己所學(xué)的知識，不斷創(chuàng)新，不斷找出解決問題的新途徑?？傊囵B(yǎng)學(xué)生運用教學(xué)知識、方法并通過建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力已成為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要目標(biāo)之一。

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