從擲硬幣的概率說開去

學(xué)過《概率論》的人都知道擲硬幣的概率計(jì)算問題，擲一枚硬幣，計(jì)算正面或反面出現(xiàn)的概率。這是概率計(jì)算的經(jīng)典例子。我們受到的教育是拿一枚硬幣擲一次，正面向上的概率是0.5，重復(fù)做第二次實(shí)驗(yàn)正面出現(xiàn)的概率還是0.5，因?yàn)槲覀儍纱螌?shí)驗(yàn)是獨(dú)立的，所以有以上的結(jié)果。那我們考慮如下的問題，假設(shè)每次擲硬幣都是獨(dú)立的，我們連續(xù)擲20次，都是正面向上，那么第21次正面向上的概率會是多大呢？

不同的人可能有不同的答案。不管怎樣，答案只會有以下三種情況：

第一種情況：因?yàn)槊看瓮稊S都是獨(dú)立的，所以不管前20次怎樣都不會影響第21次的概率，所以第21次正面向上的概率仍是0.5。這可能是剛學(xué)完《概率論》的學(xué)生最容易給出的答案。

第二種情況：有人會想，連續(xù)投擲20次都是正面向上的概率已經(jīng)很小了，那連續(xù)21次正面向上的概率會更小，所以第21次不可能再是正面了，所以答案是第21次出現(xiàn)正面向上的概率很小。

第三種情況：聰明一點(diǎn)的人會發(fā)現(xiàn)題目沒有對硬幣是否均勻等背景描述，雖然每次投擲都是獨(dú)立的，但連續(xù)20次都是正面向上，這個(gè)歷史數(shù)據(jù)不能不考慮。

我們用假設(shè)檢驗(yàn)的思想，如果每次出現(xiàn)正面向上的概率都是0.5，那么連續(xù)20次都是正面向上的概率是9.53674×10-7，但實(shí)際上這個(gè)小概率事件發(fā)生了，那說明單獨(dú)擲一次正面向上的概率不是0.5，肯定要大于0.5，甚至可能會接近于1，也就是說硬幣可能的不均勻質(zhì)地導(dǎo)致連續(xù)20次都是正面向上，所以第21次投擲為正面向上的概率很大，甚至接近于1。

回過頭來看看前兩種答案，顯然都是錯誤的。我們仔細(xì)分析他們的思維過程會發(fā)現(xiàn)他們都沒有尊重?cái)?shù)據(jù)，而是一味的去按照過去腦子里的固有模式去思考。我們受的教育就是這樣。所以很多人想當(dāng)然地去得出上面兩種答案。在此問題中，實(shí)際上，隱藏在數(shù)據(jù)背后的條件已經(jīng)改變，在這里隱含的條件就是“硬幣不是均勻的”，這個(gè)條件已經(jīng)通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的形式展現(xiàn)給你，但是你沒有好好的分析，所以會得出錯誤的結(jié)論。

我們實(shí)際工作中何嘗不是這樣呢？當(dāng)我們腦子里對某種事物有先期判斷后，我們再去搜集數(shù)據(jù)去分析，若發(fā)現(xiàn)結(jié)論和我們預(yù)想的不符合，很多人首先會懷疑數(shù)據(jù)，而不是懷疑自己的判斷，這樣是很危險(xiǎn)的。因?yàn)槭挛锏膬?nèi)在變化，往往會體現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，如果我們不能從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)細(xì)微的變化，或者對這些數(shù)據(jù)變化熟視無睹，那么統(tǒng)計(jì)工作就失去了基本意義。

讓統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)說話是我們工作的基本原則。但實(shí)際工作中，只看數(shù)據(jù)，有時(shí)會得出顯而易見的錯誤結(jié)論，那時(shí)我們還要相信數(shù)據(jù)嗎？我們看下面這個(gè)例子。有人研究汽車交通事故的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)離家越近汽車的交通事故發(fā)生率越高。我們通過常識知道，汽車發(fā)生事故，應(yīng)該與離家遠(yuǎn)近沒有直接關(guān)系。那上面的結(jié)論明顯不對，會是數(shù)據(jù)出現(xiàn)錯誤嗎？如果數(shù)據(jù)沒有錯誤，這個(gè)矛盾又怎么解釋呢？其實(shí)我們知道在這個(gè)問題的背后有個(gè)隱藏的變量，事故發(fā)生率和家的聯(lián)系通過這個(gè)隱藏變量而存在，這個(gè)隱藏變量就是你的駕駛時(shí)間。其他地方可能只去一次，離家越遠(yuǎn)你去的越少，在那里的駕駛時(shí)間少，事故率自然少，離家越近你駕駛時(shí)間越多所以事故率自然會上升。

這個(gè)例子說明，即使造成矛盾的結(jié)論，我們還要相信數(shù)據(jù)，矛盾的原因可能是有隱含的變量我們沒有找到，我們要努力尋找問題背后的隱藏變量，而不是去質(zhì)疑數(shù)據(jù)。

從上面兩個(gè)例子可以看出數(shù)據(jù)的重要性。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是我們統(tǒng)計(jì)工作的基礎(chǔ)，也是我們可以信任的工具，我們要時(shí)刻牢記從數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)據(jù)說話。當(dāng)然，對于那些造假的數(shù)據(jù)或搜集過程有瑕疵的數(shù)據(jù)不在我們討論之列。