貴重奢侈品銷售貯存的馬氏鏈模型

[摘要] 馬氏鏈模型通常用于描述具有無后效性的，時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程，本文針對貴重奢侈品銷售貯存的特點，構造了馬氏鏈模型，并進行了敏感性分析，說明模型的合理性。

[關鍵詞] 銷售貯存 馬氏鏈(Markov Chain) 泊松（Poisson）分布

一、馬氏鏈模型簡介與應用

在考察有隨機因素影響的動態(tài)系統(tǒng)時，常常碰到這樣的情況：系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的，從這個時期到下個時期的狀態(tài)按照一定的概率進行轉移，并且下個時期的狀態(tài)只取決于這個時期的狀態(tài)和轉移概率，與以前各時期的狀態(tài)無關。這種性質(zhì)稱為無后效性，或馬爾可夫（Markov）性。具有無后效性的，時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉移過程通常用馬氏鏈（Markov Chain）模型描述。馬氏鏈模型在經(jīng)濟、社會、生態(tài)、遺傳等許多領域有著廣泛的應用。

二、馬氏鏈及其基本方程

按照系統(tǒng)的發(fā)展，時間離散化為，對每個n，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機變量表示，設可以取k個離散值，且記，即狀態(tài)概率，從到的概率記，即轉移概率。如果的取值只取決于的取值及轉移概率，而與，的取值無關，那么這種離散狀態(tài)按照離散時間的隨機轉移過程稱為馬氏鏈。由狀態(tài)轉移的無后效性和全概率公式可以寫出馬氏鏈的基本方程為

（1）

并且和應滿足

（2）

（3）

（4）

引入狀態(tài)概率向量和轉移概率矩陣，（3）式表明轉移矩陣P是非負陣，（4）式表示P的行和為1，稱為隨機矩陣。

定義1一個有k個狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N，使從任意狀態(tài)i經(jīng)N次轉移都以大于零的概率到達狀態(tài)，則稱為正則鏈。

用下面的定理容易檢驗一個馬氏鏈是否為正則鏈。

定理1若馬氏鏈的轉移矩陣為P，則它是正則鏈的充要條件是：存在正整數(shù)N使（指的每一元素大于零）。

定理2正則鏈存在惟一的極限狀態(tài)概率，使得當時狀態(tài)概率與初始狀態(tài)概率無關。w又稱為穩(wěn)態(tài)概率，滿足

（5）

（6）

三、貴重奢侈品銷售存貯的馬氏鏈模型假設與建立

像汽車、鋼琴這樣的貴重奢侈品銷售量很小，商店里一般不會有多大的庫存量讓它積壓資金。這里通過一個簡單的實例來分析、評價一種貯存策略的效果。

一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗，平均每周只能售出1架鋼琴?，F(xiàn)在經(jīng)理制定的貯存策略是:每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。試估計這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少？

我們對問題提出以下模型假設：(1)鋼琴每周需求量服從泊松分布，均值為每周1架；(2)貯存策略是當周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨，否則，不訂購；(3)以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉移具有無后效性；(4）在穩(wěn)態(tài)情況下計算該貯存策略失去銷售機會的概率，和每周的平均銷售量。

記第n周的需求量為，由假設1，服從均值為1的泊松分布，即 （7）

記第n周初的庫存量為是這個系統(tǒng)的狀態(tài)變量，由假設2，狀態(tài)轉移規(guī)律為。

由（7）式和狀態(tài)轉移概率計算公式，得矩陣

。

記狀態(tài)概率，根據(jù)狀態(tài)轉移具有無后效性的假設，有。用定理1對照得到的轉移矩陣P，可知這是一個正則鏈，具有穩(wěn)態(tài)概率分布可由（5），（6）式得到。

該貯存策略（第n周）失去銷售機會的概率為，按照全概率公式有 其中的條件概率容易由（7）式計算。當充分大時，可以認為

最終得到，即從長期看，失去銷售機會的可能性大約10%。

在計算該貯存策略（第n周）的平均銷售量時，應注意到，當需求超過存量時只能銷售掉存量，于是

同樣地，當n充分大時用穩(wěn)態(tài)概率代替，得到，即從長期看，每周的平均銷售量為0.857架。

四、模型的敏感分析和進一步研究方向

這個模型用到的惟一一個原始數(shù)據(jù)是，平均每周售出1架鋼琴，這個數(shù)值會有波動。為了計算當平均需求在1附近波動時，最終結果有多大變化，設服從均值為的泊松分布，即有，由此得狀態(tài)轉移矩陣為

對于不同的平均需求（在1附近），類似于上面的計算過程，記，可得到以下結果：

即當平均需求增長（或減少）10%時，失去銷售機會的概率將增長（或減少）約15%，這是可以接受的。

本文介紹的是對已經(jīng)制定的貯存策略，用兩個指標加以評價，還可以給出其他的策略和指標，做進一步的研究。

參考文獻：

[1]姜啟源謝金星:數(shù)學模型[M].高等教育出版社，2003．

[2]M．M．Meerschaert．MathematicalModeling (secondedition) [M]．Acadermic Press，1999