人民幣兌美元匯率混沌動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)模型

[摘要] 應(yīng)用混沌理論對(duì)人民幣兌美元匯率系統(tǒng)進(jìn)行建模及預(yù)測(cè)。建立了兩個(gè)混沌動(dòng)力學(xué)模型，即人民幣兌美元匯率的日收益序列預(yù)測(cè)模型和人民幣兌美元的日匯率序列預(yù)測(cè)模型。實(shí)證結(jié)果表明，兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果都好于均值模型的預(yù)測(cè)。其中，前者的預(yù)測(cè)均方根誤差比較大，而后者的預(yù)測(cè)均方根誤差非常小，表明兩個(gè)模型中，后者更適合于人民幣兌美元匯率的預(yù)測(cè)。

[關(guān)鍵詞] 匯率 混沌 預(yù)測(cè)

2005年7月21日，中國(guó)人民銀行宣布了改變?nèi)嗣駧艆R率形成機(jī)制的公告，我國(guó)開始實(shí)行以市場(chǎng)供求為基礎(chǔ)、參考一籃子貨幣進(jìn)行調(diào)節(jié)、有管理的浮動(dòng)匯率制度。由于人民幣匯率不再盯住單一美元，因此，人民幣匯率的變動(dòng)趨勢(shì)更加復(fù)雜化，匯率的波動(dòng)帶來的風(fēng)險(xiǎn)也大大超過以往，而匯率的頻繁波動(dòng)及由此帶來的外匯風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于國(guó)際金融、貿(mào)易和投資都具有關(guān)鍵性的影響作用，因此， 正確預(yù)測(cè)人民幣匯率的變化也變得越來越重要。

雖然人民幣匯率不再盯住單一美元，但美元仍在一籃子貨幣中占有最大的比重。因此正確預(yù)測(cè)人民幣兌美元匯率走勢(shì)將有助于我們有效的規(guī)避外匯風(fēng)險(xiǎn)。

人民幣兌美元匯率系統(tǒng)是一個(gè)具有混沌特性的系統(tǒng)。而混沌理論認(rèn)為，由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性使得對(duì)其進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)是不可能的。但是，在短期內(nèi)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)散應(yīng)較小，從而利用觀測(cè)資料進(jìn)行短期預(yù)報(bào)是可行的。因此，本文應(yīng)用混沌理論對(duì)人民幣兌美元匯率系統(tǒng)進(jìn)行短期建模及預(yù)測(cè)的嘗試。

一、理論與方法

1.相空間重構(gòu)理論

相空間重構(gòu)是對(duì)匯率序列進(jìn)行混沌預(yù)測(cè)研究的基礎(chǔ)，通過相空間重構(gòu)可以找出隱藏在混沌吸引子中的演化規(guī)律，使序列數(shù)據(jù)能夠納入某種可描述的框架之下。

相空間重構(gòu)是由Packard和Takens提出的，其目的是在高維相空間中恢復(fù)混沌吸引子。系統(tǒng)任一分量的演化是由與之相互作用的其它分量所決定的。因此，這些相關(guān)分量的信息就隱含在任一分量的發(fā)展過程中。這樣，就可以從某一分量的一批時(shí)間序列中提取和恢復(fù)系統(tǒng)原來的規(guī)律，這種規(guī)律是高維空間下的一種軌跡。Packard等建議用原始系統(tǒng)中的某變量的延遲坐標(biāo)來重構(gòu)相空間，Takens則證明可以找到一個(gè)合適的嵌入維，即如果延遲坐標(biāo)的維數(shù)是動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)，在這個(gè)嵌入維空間里可以把有規(guī)律的軌跡（吸引子）恢復(fù)出來。其原理可表示如下：

假設(shè)時(shí)間序列為，如果能適當(dāng)選定嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲，則可得到：

（1）

（1）式即為延滯時(shí)間重構(gòu)的相空間，在微分同胚意義下，它保持原系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并與其有等同的動(dòng)力學(xué)特性。根據(jù)Takens定理，只要重建的相空間維數(shù)m足夠大，就可以在拓?fù)涞葍r(jià)的意義下恢復(fù)吸引子的動(dòng)力學(xué)特性，從而揭示出傳統(tǒng)坐標(biāo)系所無法揭示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2.時(shí)滯時(shí)間和嵌入維數(shù)

重構(gòu)相空間的關(guān)鍵在于嵌入空間維數(shù)m和時(shí)滯時(shí)間τ的選擇，而計(jì)算嵌入空間維數(shù)m和時(shí)滯時(shí)間τ的方法并不惟一，因此首先要選擇時(shí)滯時(shí)間和嵌入維數(shù)的計(jì)算方法。

常用的求時(shí)滯時(shí)間τ的方法有自相關(guān)函數(shù)法和互信息量法。大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明相空間的特征量依賴于τ的選擇。選擇合適的 τ，自然要求線性獨(dú)立，即選取自相關(guān)函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)。但是自相關(guān)函數(shù)僅僅度量了兩個(gè)變量的線性依賴性；而互信息函數(shù)卻度量了兩個(gè)變量的總體依賴性。在大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)函數(shù)法（對(duì)應(yīng)第一個(gè)零點(diǎn)）的互信息量較大，從而無法對(duì)吸引子的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行定量研究。而互信息法（對(duì)應(yīng)第一個(gè)極小值）的互信息量較小，因而能夠通過重構(gòu)相空間來定量和定性分析吸引子的動(dòng)力學(xué)特征。所以，互信息方法在時(shí)滯時(shí)間τ的選取上要優(yōu)于自相關(guān)函數(shù)法。因此，在對(duì)匯率的預(yù)測(cè)中，選擇互信息量法確定時(shí)滯時(shí)間τ。

計(jì)算嵌入維數(shù)的常用方法有關(guān)聯(lián)維數(shù)法和虛假鄰域法等。關(guān)聯(lián)維數(shù)法是從時(shí)間序列計(jì)算吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)的一種算法。而虛假鄰域法則是一種通過考察假最近鄰點(diǎn)數(shù)目隨相空間維數(shù)增加而發(fā)生的變化來確定嵌入維數(shù)的一種方法。這些方法的共同缺點(diǎn)是在選擇嵌入維數(shù)時(shí)都包含主觀參數(shù)或主觀判斷。而零階近似法[3]不依賴主觀參數(shù)，因此選擇零階近似法來確定嵌入維數(shù)。

二、人民幣兌美元匯率的建模與預(yù)測(cè)

選取2005年7月22日～2008年11月7日人民幣兌美元的匯率序列，應(yīng)用混沌理論進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)來源于美國(guó)聯(lián)邦儲(chǔ)備銀行圣路易斯官方網(wǎng)站。

1.預(yù)測(cè)模型的確立

對(duì)2005年7月22日～2008年11月7日人民幣兌美元匯率序列的建模，分兩種情況進(jìn)行，即以人民幣兌美元匯率的日收益序列為樣本進(jìn)行建模，和以人民幣兌美元的日匯率序列為樣本進(jìn)行建模。

由于人民幣兌美元匯率系統(tǒng)具有混沌特性，而混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是相空間的重構(gòu)理論，因此，首先要通過重構(gòu)相空間矢量來重構(gòu)相空間。

混沌時(shí)間序列可表示為，則重構(gòu)的相空間矢量為

（2）

式中τ為時(shí)滯時(shí)間，由互信息量法確定；d為嵌入維數(shù)，可由零階近似法確定；，且為樣本值個(gè)數(shù)。由嵌入理論可知，存在一映射使得

（3）

當(dāng)時(shí)間序列的觀察函數(shù)是光滑的且嵌入維數(shù)足夠大時(shí)，式（3）的動(dòng)力學(xué)行為與重構(gòu)前原混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是拓?fù)涞葍r(jià)的。在實(shí)際應(yīng)用中，使用一標(biāo)量方程來代替式（3）的矢量方程，即

（4）

式（4）就是對(duì)日收益序列和日匯率序列建立的混沌模型，根據(jù)此模型即可由預(yù)測(cè)出。

剩下的問題是如何去估計(jì)函數(shù)。假設(shè)用個(gè)樣本值去擬合函數(shù)，亦即有，這樣就可構(gòu)造時(shí)滯向量，如式（2）?，F(xiàn)在要預(yù)測(cè)，可采用局部線性近似法。局部線性近似法的基本思想是：將相空間軌跡的最后一點(diǎn)作為中心點(diǎn)，把離中心點(diǎn)最近的若干軌跡點(diǎn)作為相關(guān)點(diǎn)，然后對(duì)這些相關(guān)點(diǎn)作出擬合，再估計(jì)軌跡下一點(diǎn)的走向，最后從預(yù)測(cè)出的軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)中分離出所需要的預(yù)測(cè)值。其預(yù)測(cè)步驟如下:

(1)找出距最近的個(gè)向量；

(2)按照式(4)，由這個(gè)向量擬合一線性函數(shù)；

(3)的預(yù)測(cè)值

距v最近的個(gè)向量可用表示，。這樣對(duì)任意k都有，。

線性函數(shù)可按式(4)的形式進(jìn)行擬合，即把每一個(gè)看成鄰域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，而看成是與相應(yīng)的點(diǎn)，來擬合，可以用最小二乘法找到這個(gè)線性函數(shù)，使得最小。

2.預(yù)測(cè)精確性的評(píng)價(jià)

把混沌預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度與均值預(yù)測(cè)模型比較來評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的精確性。

均值預(yù)測(cè)模型指的是，預(yù)測(cè)值。是序列的均值。對(duì)這兩個(gè)預(yù)測(cè)模型用下面統(tǒng)計(jì)量來比較它們的預(yù)測(cè)精度

（5）

式中：p表示外推的數(shù)據(jù)量；為的預(yù)測(cè)值。如果RMSE＜1，則表明混沌預(yù)測(cè)模型比均值預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果好；如果RMSE＞l，則表明前者不如后者的效果好。

3.預(yù)測(cè)結(jié)果

(1)人民幣兌美元匯率日收益序列的預(yù)測(cè)

2005年7月22日～2008年11月7日人民幣兌美元日匯率數(shù)據(jù)，共有833個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，首先將其進(jìn)行如下處理。

對(duì)價(jià)格序列取對(duì)數(shù)，然后再進(jìn)行一階差分，可得到：

通過上述處理，將價(jià)格序列轉(zhuǎn)換成對(duì)數(shù)收益序列。對(duì)數(shù)收益序列共計(jì)832個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。這832個(gè)日收益數(shù)據(jù)即為實(shí)證研究的樣本。

以832個(gè)日收益數(shù)據(jù)為樣本，按照局域預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)步驟建立混沌模型，然后就可以用于預(yù)測(cè)。具體的做法是，時(shí)間序列的前827個(gè)數(shù)據(jù)用于確定預(yù)測(cè)模型和優(yōu)化模型參數(shù)，后面5個(gè)數(shù)據(jù)用于實(shí)際預(yù)測(cè)。

采用混沌模型對(duì)日收益序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，則可得到序列的預(yù)測(cè)值，其預(yù)測(cè)均方根誤差為0.8989。由于誤差評(píng)價(jià)比1小，但并不小很多，故認(rèn)為該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果雖好于均值模型的預(yù)測(cè)，但并不比均值模型的預(yù)測(cè)結(jié)果好多少。

(2)人民幣兌美元日匯率序列的預(yù)測(cè)

人民幣兌美元日匯率序列的預(yù)測(cè)，是指不對(duì)數(shù)據(jù)做預(yù)處理，而是對(duì)原始日匯率數(shù)據(jù)直接進(jìn)行預(yù)測(cè)。原始日匯率數(shù)據(jù)樣本是833個(gè)。

以833個(gè)原始日匯率數(shù)據(jù)為樣本，按照局域預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)步驟建立混沌模型后，就可進(jìn)行預(yù)測(cè)。具體的做法是，時(shí)間序列的前828個(gè)數(shù)據(jù)用于確定預(yù)測(cè)模型和優(yōu)化模型參數(shù)，后面5個(gè)數(shù)據(jù)用于實(shí)際預(yù)測(cè)。

采用混沌模型對(duì)日匯率序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，則可得到序列的預(yù)測(cè)值，其預(yù)測(cè)均方根誤差為0.0111。由于誤差評(píng)價(jià)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，故認(rèn)為該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于均值模型。

三、結(jié)論

本文分別采用兩種方式對(duì)人民幣兌美元匯率建立了混沌動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)模型，一種是以人民幣兌美元匯率的日收益序列為樣本進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)；一種是以人民幣兌美元的日匯率序列為樣本進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)。 本文所建的兩個(gè)混沌動(dòng)力學(xué)模型，其預(yù)測(cè)均方根誤差都小于1，故認(rèn)為其預(yù)測(cè)結(jié)果都好于均值模型的預(yù)測(cè)。但是以日收益序列為樣本所建模型，其預(yù)測(cè)均方根誤差為0.8989，與1比較，并不小很多，故認(rèn)為其預(yù)測(cè)結(jié)果并不比均值模型的預(yù)測(cè)結(jié)果好多少。而以原始日匯率數(shù)據(jù)為樣本所建模型，其預(yù)測(cè)均方根誤差為0.0111，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，故認(rèn)為其預(yù)測(cè)結(jié)果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于均值模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。由以上分析可得，本文所建的兩個(gè)模型，其預(yù)測(cè)的效果相差較大。而這兩個(gè)模型的不同之處就是對(duì)樣本數(shù)據(jù)做預(yù)處理和對(duì)樣本數(shù)據(jù)未做預(yù)處理。因此可以得出，對(duì)樣本數(shù)據(jù)做預(yù)處理是導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差較大、預(yù)測(cè)結(jié)果不夠好的直接原因。也就是說在對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)、再進(jìn)行一階差分處理的過程中，很有可能引進(jìn)了誤差噪聲，致使處理后的數(shù)據(jù)相比處理前的數(shù)據(jù)復(fù)雜程度增加，因而，導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度降低。因此可以得出結(jié)論，對(duì)人民幣兌美元匯率進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理并不合適；或者說，對(duì)人民幣兌美元匯率進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)以原始匯率數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行建模，這樣，預(yù)測(cè)結(jié)果才會(huì)更好。

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