關(guān)于偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算思想的思考

[摘 要] 偏相關(guān)系數(shù)作為研究變量之間“純”相關(guān)關(guān)系的一種手段，在相關(guān)分析中占有非常重要的地位。本文以三變量為例分析了偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算過(guò)程，認(rèn)為在排除其余變量對(duì)進(jìn)行偏相關(guān)分析的兩個(gè)變量的影響時(shí)，存在一個(gè)數(shù)學(xué)期望不為零的漂移量，這無(wú)疑使得變兩間的“純”相關(guān)關(guān)系受到影響。最后文章分析了漂移量的含義，并就偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算的改進(jìn)提出了初步的設(shè)想。

[關(guān)鍵詞] 相關(guān)分析 偏相關(guān)系數(shù)

相關(guān)和回歸分析作為研究變量之間相關(guān)關(guān)系的兩種基本方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有非常重要的地位，在進(jìn)行實(shí)證分析過(guò)程中二者之間存在互補(bǔ)關(guān)系。

一、偏相關(guān)系數(shù)基本計(jì)算方法分析

我們以三個(gè)變量(y，χ1，χ2)為例，來(lái)說(shuō)明偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算的基本思想。假設(shè)變量y，χ1，χ2之間的數(shù)量依存關(guān)系為:

y=ω0+ω1χ1+ω2χ2+μ (1）

在求y與χ1的偏相關(guān)系數(shù)時(shí)，必須清除χ2的影響，為此先求y、χ1對(duì)χ2的回歸：

y=αμ+χ2+ε1—— (2)

y= +χ2+ε2—— (3)

在傳統(tǒng)的偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法中認(rèn)為(1)式和(2)式中的殘差部分ε1和ε2分別是變量y和χ1中未被χ2解釋的部分，即清除了χ2影響后y和χ1的值，這兩個(gè)殘差間的相關(guān)關(guān)系就表示了y和χ1之間的純相關(guān)關(guān)系。因此界定排除χ2影響后y和χ1之間的偏相關(guān)系數(shù):

（4)

其中就是ε1和ε2的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。

由此可見(jiàn):偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算思想的就是對(duì)進(jìn)行偏相關(guān)分析的兩個(gè)變量“排除其他變量的影響”，通過(guò)兩個(gè)變量中其他變量不能解釋的部分間的相關(guān)關(guān)系來(lái)分析兩變量間的“純”依存關(guān)系，因此偏相關(guān)分析的關(guān)鍵在于如何有效排除其他變量的影響。在傳統(tǒng)的偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算中排除其它變量影響的工具就是(2)式和(3)式，就本例而言通過(guò)(2)（3)兩式提供的方法能否有效的清除χ2對(duì)y和χ1的影響呢?

二、對(duì)和的分析

(2)式的主要目的是尋找y中受χ1影響的部分，那么ε1是否準(zhǔn)確地度量了這一結(jié)果呢?在進(jìn)行偏相關(guān)分析時(shí)，我們已知變量y，χ1，χ2之間存在數(shù)量依存關(guān)系y=ω0+ω1χ1+ω2χ2+μ，由此可知在沒(méi)有確定三變量之間的因果關(guān)系之前，它們之間表現(xiàn)為相互影響的相關(guān)關(guān)系。我們利用進(jìn)行(2)式和(3)式分析時(shí)的樣本，通過(guò)最小二乘法來(lái)估計(jì)(1)式，假設(shè)估計(jì)的結(jié)果為：

y=(5)

在進(jìn)行(5)式的估計(jì)過(guò)程中正規(guī)方程組的第二個(gè)方程為:

由于ε3利用現(xiàn)有樣本將χ1對(duì)χ2回歸而得到的殘差，因此χ2，且=0所以上式可以轉(zhuǎn)化為，因?yàn)橹皇铅?的線性組合，所以，亦即:，所以，進(jìn)而有所以:

(6)

其中ε3利用現(xiàn)有樣本將χ2對(duì)χ1回歸而得到的殘差，通過(guò)的表達(dá)式不難發(fā)現(xiàn)，可以看作是χ2排除χ1影響之后剩余的部分與y進(jìn)行回歸分析而得到的回歸系數(shù)，因此度量了在排除χ1影響之后χ2與y之間的關(guān)系。和(2)式相比β通常不等于，但在兩種比較明顯的情況下他們會(huì)相等，其一是:樣本中χ1對(duì)y的局部效應(yīng)為0，即ω1=0，其二是樣本中χ2和χ1不相關(guān)。而我們進(jìn)行yy1.2分析之前，通常不可能一開始就認(rèn)定χ1對(duì)y的局部效應(yīng)為0或χ2和χ1不相關(guān)，如果χ1對(duì)y的局部效應(yīng)為0，那么我們就沒(méi)有必要來(lái)進(jìn)行yy1.2的分析;如果χ2和χ1不相關(guān)，顯然沒(méi)有必要排除χ2對(duì)χ1的影響，也就沒(méi)有必要進(jìn)行(3)式的分析。

由于本例的主要目的是測(cè)量χ1對(duì)y的純效應(yīng)，因此我們不可能一開始就判斷χ1是對(duì)y沒(méi)有重要影響的變量。通過(guò)(2)式和(5)的對(duì)比不難發(fā)現(xiàn):（2)式在測(cè)量χ2對(duì)y的影響時(shí)，很可能遺漏重要變量χ1，進(jìn)而使β成為一個(gè)有偏估計(jì)量。

(7)，由(1)式可知:，所以:

將此結(jié)果帶入(7)式可得:

由于其中

所以

所以，亦即。由此可見(jiàn)，利用(2)式來(lái)測(cè)量χ2對(duì)y的影響是有偏移的。將(8)式帶入到(2)式中可得:

根據(jù)(1)式可知ω2χ2i部分就是χ2排除χ1影響后的部分對(duì)y的影響。因此根據(jù)(2)式所確定的χ1對(duì)y的影響ε1存在一個(gè)漂移，

而且此漂移量的數(shù)學(xué)期望不等于零。

同理利用(3)式來(lái)分析χ1中χ2不能解釋的部分時(shí)，由于y與χ1的因果關(guān)系并沒(méi)有確定，因此無(wú)法直接排除y對(duì)χ1的影響，故此這一步一樣面臨著遺漏重要變量y的影響，其分析過(guò)程與上述過(guò)程一樣。假設(shè):χ1=κ0+κ1χ2+κ2y+ν，利用估算(2)式的樣本，估計(jì)(3)式時(shí)可知：

同樣利用(3)式測(cè)算χ1中χ2不能解釋的部分ε2存在一個(gè)數(shù)學(xué)期望不為零的漂移

三、對(duì)偏相關(guān)系數(shù)計(jì)算思想的分析

利用(2)式和(3)式測(cè)算排除χ2影響后y和χ1的值存在一個(gè)數(shù)學(xué)期望不為零的漂移量，其背后隱藏著一個(gè)關(guān)于χ2對(duì)y和χ1影響機(jī)制的設(shè)定問(wèn)題。由于我們進(jìn)行的是相關(guān)分析，在進(jìn)行定量測(cè)量時(shí)我們并沒(méi)有分析三者之間的因果關(guān)系，因此它們之間的影響是相互的，因此從回歸分析的角度來(lái)說(shuō)(2)式和(3)式存在遺漏重要變量的風(fēng)險(xiǎn)是毫無(wú)疑問(wèn)的。正是因?yàn)樗鼈冎g相互影響，那么我們?cè)跍y(cè)量χ2對(duì)y和χ1影響時(shí)，是僅僅把χ2對(duì)y和χ1的直接影響界定為χ2對(duì)y和χ1的影響，還是把χ2對(duì)y和χ1的間接影響也包含在χ2對(duì)y和χ1的影響中，這種不同的界定最后得出的結(jié)果是不同的。以χ2對(duì)y的影響為例，χ2對(duì)y存在直接影響，即(5)式中的部分，同時(shí)χ2對(duì)y存在間接影響，即χ2通過(guò)直接影響χ1間接影響y，這部分第二部分分析的漂移量

中有一定的體現(xiàn)。

，由(3)式可知測(cè)量了

χ2對(duì)χ1的影響，再由(1)式可知ω1就測(cè)量了χ2通過(guò)直接影響χ1對(duì)y間接影響。因此(2)式中βχ2部分不僅包含有χ2對(duì)y的直接影響，同時(shí)也包含有χ2對(duì)y的間接影響。對(duì)于χ1通過(guò)直接影響χ2對(duì)y的間接影響，筆者認(rèn)為應(yīng)該包含在χ1對(duì)y的影響之中，在進(jìn)行偏相關(guān)分析時(shí)只用排除χ2對(duì)y和χ1的直接影響。怎樣通過(guò)排除χ2對(duì)y和χ1的直接影響后分析y和χ1之間的相關(guān)關(guān)系我們將另文進(jìn)行論述。

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