對(duì)偶線性規(guī)劃理論的經(jīng)濟(jì)意義

[摘 要] 舉例說明對(duì)偶線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)中的經(jīng)濟(jì)意義。

[關(guān)鍵詞] 對(duì)偶 線性規(guī)劃 影子價(jià)格

線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有著重要應(yīng)用，它為經(jīng)濟(jì)理論提供了一個(gè)很好的數(shù)量分析方法，尤其是線性規(guī)劃對(duì)偶理論的經(jīng)濟(jì)意義——影子價(jià)格在資源利用、投資決策等方面有著重要作用。這里舉例說明它在企業(yè)活動(dòng)分析中的重要作用。

定義:線性規(guī)劃問題

(Ⅰ)與(Ⅱ)

其中，，，，稱作互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題。

利用單純形法求解其中一個(gè)問題可同時(shí)給出兩個(gè)信息，一個(gè)是原問題的最優(yōu)解，另一個(gè)是對(duì)偶問題的最優(yōu)解——即各種資源的影子價(jià)格。

引理:若互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題(Ⅰ)和(Ⅱ)中任意一個(gè)有最優(yōu)解，則另一個(gè)也有最優(yōu)解，并且(Ⅰ)、(Ⅱ)的最優(yōu)植相等。

由引理易得某一約束條件的影子價(jià)格表示為當(dāng)它所對(duì)應(yīng)的約束條件右端的常數(shù)增加一個(gè)單位時(shí)（假設(shè)原問題最優(yōu)基不變），原問題目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值增加的數(shù)值。

例:某工廠利用甲、乙、丙三種原料生產(chǎn)B1，B2，B3，B4四種產(chǎn)品，每月可供該廠原料甲500噸，乙300噸，丙200噸。生產(chǎn)一噸不同的產(chǎn)品可獲得的利潤及生產(chǎn)一噸不同產(chǎn)品所消耗的原料數(shù)量見下表。

問工廠每月應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使總利潤最大?

顯然，這屬于線性規(guī)劃問題。

設(shè)B1，B2，B3，B4四種產(chǎn)品分別生產(chǎn)1，2，3，4噸，根據(jù)題意得到線性規(guī)劃問題

由單純形表求得1=2=0，3=200，4=100/3松弛變量5=100/3，6=7=0，三種原料的影子價(jià)格分別為y1=0，y2=50，y3=250。在其它資源不變的情況下，通過對(duì)三種原料參數(shù)500，300，200的靈敏度分析得知，在保持其最優(yōu)基不變的條件下，三種原料的變化范圍是甲≥1400/3，200≤乙≤350，0≤丙≤225，分析所得的結(jié)果可以得出:

1.當(dāng)生產(chǎn)B3產(chǎn)品200噸，B4產(chǎn)品100/3噸，而不生產(chǎn)B1，B2產(chǎn)品時(shí)，總利潤最大，為65000元，此時(shí)甲種原料還剩余100/3噸未用，原料乙、丙沒有剩余。因此該廠在保證取得最大利潤情況下可考慮把剩余的甲種原料用于其它產(chǎn)品的生產(chǎn)為企業(yè)增加一部分轉(zhuǎn)讓基金。

2.由于影子價(jià)格較真實(shí)地反映了資源在經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中最優(yōu)決策下對(duì)總收益(目標(biāo)函數(shù))的影響和貢獻(xiàn)率大小，資源的影子價(jià)格越高，表明該種資源對(duì)總收益的貢獻(xiàn)越大，反之則越小，若等于零，則說明在最優(yōu)決策下尚有閑置資源。比較三種原料的影子價(jià)格可知:原料丙的影子價(jià)格最大，對(duì)總利潤的增量最大即現(xiàn)有原料丙每增加1噸，最大利潤將增加250元，原料乙每增加1噸，最大利潤將增加50元，而原料甲每增加1噸，最大利潤不變。因此當(dāng)該廠的產(chǎn)品不是國家計(jì)劃產(chǎn)品，而市場上原料丙的實(shí)際價(jià)格又小于影子價(jià)格250元時(shí)應(yīng)首先考慮增加丙原料的投入來擴(kuò)大生產(chǎn)，使利潤增加，由基變范圍可知最多增加25噸，使總利潤的增量達(dá)25050=6250元，但原料丙的噸價(jià)大于250元，這樣做就不合算了。同樣，可對(duì)乙進(jìn)行分析。但原料甲的影子價(jià)格為零，說明在資源最優(yōu)分配方案中有剩余，即再增加或適當(dāng)減少總利潤不變，因此工廠可以有償轉(zhuǎn)讓一部分原料甲，給企業(yè)增加一部分轉(zhuǎn)讓基金，同時(shí)也可為其它部門提供部分原料，但最多出讓500-1400/3=100/3(噸）。

3.通過以上分析，國家可對(duì)最緊缺資源借助影子價(jià)格規(guī)定使用這種資源一單位時(shí)必須上繳的利潤額，以便控制一些經(jīng)濟(jì)效益低的企業(yè)自覺地節(jié)約使用資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟(jì)效益。

以上僅是理論分析了對(duì)偶線性規(guī)劃在企業(yè)活動(dòng)分析中的作用，它為管理者提供了一種決策的理論依據(jù)，實(shí)際在使用時(shí)還要結(jié)合經(jīng)濟(jì)環(huán)境及企業(yè)的特點(diǎn)，綜合多方因素，為決策者提供科學(xué)的務(wù)實(shí)的量化資料。

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