電磁感應現(xiàn)象中的普遍結論ｖs/2＝(ｖ０＋ｖｔ)／２
2008-12-31 00:00:00楊天才
物理教學探討 2008年22期
在直線運動中，質點運動的中間位置的瞬時速度vs/2=v20+v2t2 ，中間時刻的瞬時速度vt/2=v0+vt2，由數(shù)學知識，v20+v2t2≥v0+vt2，對勻變速（加速或減速）直線運動，只能取大于；只有在勻速直線運動中，等號才成立。但在下面的情形下，也有vs/2=v0+vt2成立。
推導 如圖1所示，水平光滑的平行金屬導軌，左端接有電阻R，勻強磁場B豎直向下分布在導軌所在空間內(nèi)，質量為m的金屬棒PQ垂直于導軌放置。今使棒以一定的初速度v0向右運動，當其通過位置a、b時，速率分別為va、vb。設導軌與棒的電阻均不計，Q、a與a、b的間距相等均為x，則金屬棒在由Q→a的過程中切割磁感線，產(chǎn)生感應電動勢和感應電流，從Q往P看，受力分析如圖2，取v0的方向為正方向，由動量定理有
-F安#8226;t=mva-mv0
F安=BL=BLR=BLBLxRt
∴-F安#8226;t=-B2L2xR=mva-mv0
同理，金屬棒在由a→b的過程中，有
-B2L2xR=mvb-mva
化解得：va=v0+vb2
下面我們用金屬棒在運動中任一時刻的動力學方程來證明。
對金屬棒，由牛頓第二定律，
-F安=ma
即-B2L2vR=mdvdt
變形為dvv=-B2L2mRdt
積分得1nv=-B2L2mRt+1nC
變?yōu)関=Ce-B2L2mRt
將初始條件t=0，v=v0代入，得C=v0
故金屬棒在運動中任一時刻的動力學方程
v=v0e-B2L2mRt
其v-t圖象如圖3所示：
又s=∫vdt
積分得s=-mRB2L2v0e-B2L2mRt+C′
將初始條件t=0，v=v0，s=0代入，得
C′=mRB2L2v0
故金屬棒在運動中任一時刻的位移公式為：
s=mRB2L2v0(1-e-B2L2mRt)
=mRB2L2(v0-v)
由Q→a的過程，x=mRB2L2(v0-va)
由a→b的過程，x=mRB2L2(va-vb)
化解得：va=v0+vb2
即中間位置的瞬時速度與始末速度之間滿足如下關系：vs/2=v0+vt2。
結論
在電磁感應現(xiàn)象中，只有安培力作用下的減速運動，物體在任意一段位移的中間位置的瞬時速度等于始末速度之和的一半。
結論應用
例1 如圖4所示，在光滑的水平面上寬度為L的區(qū)域內(nèi)，有一豎直向下的勻強磁場。現(xiàn)有一個邊長為a (a＜L）的正方形閉合線圈以垂直于磁場邊界的初速度v0向右滑動，穿過磁場后速度減為v，那么當線圈完全處于磁場中時，其速度大小（ ）
A.大于(v0+v)/2
B.等于(v0+v)/2
C.小于(v0+v)/2
D.以上均有可能
析與解 線圈完全在磁場區(qū)域內(nèi)、外時做勻速直線運動，跨越磁場區(qū)域時做變減速直線運動，其左、右跨越磁場區(qū)域時運動的位移相等，都等于邊長為a，由結論知，當線圈完全處于磁場中時，速度等于(v0+v)/2，答案選B。
例2 如圖5所示水平光滑的平行金屬導軌，左端接有電阻R，勻強磁場B豎直向下分布在導軌所在空間內(nèi)，質量一定的金屬棒PQ垂直于導軌放置。今使棒以一定的初速度v0向右運動，當其通過位置a、b時，速率分別為va、vb，到位置c時棒剛好靜止。設導軌與棒的電阻均不計，a、b與b、c的間距相等，則金屬棒在由a→b與b→c的兩個過程中（ ）
A．棒運動的加速度相等
B．通過棒橫截面的電量相等
C．回路中產(chǎn)生的電能Eab=3Ebc
D．棒通過a、b兩位置時va>2vb
析與解 金屬棒PQ在運動過程中切割磁感線，產(chǎn)生感應電動勢和感應電流，從Q往P看，受力分析如圖6，由牛頓第二定律，有
a=F安m
=BLm=BLmR
=B2L2vmR
隨著v不斷減小，加速度a也不斷減小，答案A錯；
q=t=Rt
=ΔRtt=BLxR
a、b與b、c的間距x相等，兩過程中通過棒橫截面的電量相等，答案B正確；
由結論知，vb=va+vc2=va2，答案D錯；
由能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的電能
Eab=12mv2a-12mv2b，
Ebc=12mv2b-0，
將va=2vb代入得：
Eab=3Ebc
答案C正確。
