衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)解法探討

天體的運(yùn)動(dòng)軌跡往往是圓或橢圓，而現(xiàn)行物理教科書(shū)中對(duì)圓形軌道的介紹較多，軌跡為橢圓的天體運(yùn)動(dòng)則介紹甚少。針對(duì)參加物理競(jìng)賽同學(xué)在解答衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)一類(lèi)試題所遇到的問(wèn)題，以及全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽考綱要求考生掌握軌跡為橢圓的天體運(yùn)動(dòng)。本文對(duì)如何解答此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單探討。

1 衛(wèi)星做橢圓運(yùn)動(dòng)遵循的基本規(guī)律

1.1 開(kāi)普勒定律

天體的運(yùn)動(dòng)必須遵守開(kāi)普勒天體運(yùn)動(dòng)三定律，即行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；行星與太陽(yáng)之間的連線(xiàn)在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積；行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的運(yùn)動(dòng)周期的二次方的比值都相等，即a3T2=k。對(duì)于衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)同樣遵循開(kāi)普勒三定律。

1.2 萬(wàn)有引力定律

衛(wèi)星繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，其本質(zhì)是因?yàn)槭艿降厍蛞Φ淖饔茫孕l(wèi)星的運(yùn)動(dòng)遵守萬(wàn)有引力定律，即F=GMmr2，這是衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的最根本規(guī)律。

1.3 機(jī)械能守恒定律

衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有動(dòng)能和引力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，因此衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程滿(mǎn)足機(jī)械能守恒定律，即

12mv21-GMmr1=12mv22-GMmr2

式中12mv2表示衛(wèi)星的動(dòng)能，-GMmr表示衛(wèi)星的勢(shì)能。

另外，除了上面的物理規(guī)律外，還涉及到高中數(shù)學(xué)平面解析幾何中的橢圓知識(shí)，這里不再贅述。需要說(shuō)明的是圓是離心率為1的橢圓。

2 例析規(guī)律的應(yīng)用

例1 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T(mén)。若飛船要返回地面，可在軌道上的某一點(diǎn)A處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切，如圖1所示。若地球半徑為R0，求飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)所需要的時(shí)間。



解析 圓軌道是離心率為零的特殊的橢圓軌道。根據(jù)題意，飛船繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑的三次方跟周期平方的比值等于飛船繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)其半長(zhǎng)軸的三次方跟周期平方的比值。設(shè)飛船橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a，運(yùn)行周期為T(mén)0，則有

a3T20 =R3T2

a=R+R02

解之得T0=T2R3(R+R02)3

則飛船從點(diǎn)到點(diǎn)所需的時(shí)間為

t=T02=(R+R0)T4R#8226;R+R02

例2 空間站和宇宙飛船對(duì)接在一起以半徑R繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻飛船在A處脫離空間站，并沿原來(lái)的速度方向加速，加速后飛船進(jìn)入一橢圓軌道，空間站仍在圓軌道運(yùn)動(dòng)。若飛船在橢圓軌道上運(yùn)行一周后恰好又能在A處與運(yùn)行了N圈的空間站對(duì)接。試求：飛船在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度大小。已知地球質(zhì)量為M。

解析 設(shè)空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，飛船做橢圓運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)0，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地心為r。根據(jù)題意有萬(wàn)有引力定律和向心力公式有

GMmR2=mω2R

式中ω=2πT為空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。

由開(kāi)普勒第三定律有

R3T2=a3T20

式中a=R+r2為飛船橢圓軌道的半長(zhǎng)軸。

空間站的圓周運(yùn)動(dòng)與飛船的橢圓運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為

NT=T0

設(shè)飛船在橢圓軌道近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度大小分別為v1、v2，根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有

Rv1=rv2

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

12mv21-GMmR=12mv22-GMmr

綜合以上各式解得

v2=GMRN23(2N23-1)

本例是一道綜合題，在解題過(guò)程中綜合運(yùn)用了開(kāi)普勒三定律、萬(wàn)有引力定律和機(jī)械能守恒定律。通過(guò)本例體現(xiàn)了在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)需要綜合考慮這三大規(guī)律，根據(jù)具體問(wèn)題具體分析，才能巧妙地解決衛(wèi)星乃至行星的橢圓運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。