最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制模型研究

［摘 要］ 最優(yōu)拍賣機制設(shè)計問題是拍賣人通過合理的設(shè)計一系列規(guī)則使得自己的收益最大化的過程，這一過程顯然是追求“賣方剩余”最大化的。實際上，在拍賣人追求收益最大化的同時，競標人同樣會通過最優(yōu)策略的分析，使自己的收益最大化。這種雙方博弈的結(jié)果自然導致一種均衡狀態(tài)的出現(xiàn)，這種均衡狀態(tài)是一種納什均衡狀態(tài)，這種狀態(tài)下的社會資源配置也是最優(yōu)的。本文試圖從傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模型入手，將原有模型進行擴展研究，得出拍賣品數(shù)量和拍賣價值離差等對網(wǎng)上拍賣的影響，從而提出一個現(xiàn)有電子商務(wù)環(huán)境下的最優(yōu)拍賣機制模型。

［關(guān)鍵詞］ 最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制；模型

［中圖分類號］F724.6［文獻標識碼］A［文章編號］1673-0194（2008）17-0098-04

0 引 言

拍賣一詞源于希臘語“augere”，原意是增加的意思。最開始只是通過拍賣賣一些不經(jīng)常用或者是稀有的物品。拍賣作為一門科學被廣大學者所接受不過半個多世紀的時間，Vickrey 作為拍賣領(lǐng)域的先鋒是從博弈論的角度開始研究的， 他于1964 年發(fā)表在金融雜志上的文章《Counterspeculation ，auctions and sealed tenders》被認作是拍賣理論的開山力作，他也因為在該領(lǐng)域的重要貢獻于1996 年獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。隨著Internet 和互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟熱潮的出現(xiàn)，網(wǎng)上拍賣顯示出勃勃生機，網(wǎng)上拍賣逐漸成為了最成功的電子商務(wù)模式，各國的研究學者也開始研究拍賣經(jīng)濟模型。

拍賣的經(jīng)濟模型一般從以下前提假設(shè)入手: ①單物品拍賣; ②所有競買人和賣主都是風險中性的（ risk neutral）;③所有競買人是對稱的; ④拍賣品具有獨立的私人價值;⑤最終支付額僅僅取決于報價額; ⑥競買人之間是非合作博弈;⑦賣主就是拍賣人，不存在交易費用。有學者將上述假設(shè)稱為私有價值模型（private-value mode）。Vickrey以上述模型為出發(fā)點，分析了傳統(tǒng)的英式拍賣、荷式拍賣和首價密封買賣之后，提出了他的經(jīng)典的拍賣模型——二價密封拍賣（也稱Vickrey拍賣）。Vickrey拍賣最顯著的特征是每個競買人的占優(yōu)戰(zhàn)略都是按其真實支付意愿出價（“說真話”），這種拍賣機制顯然是激勵相容的。由于拍賣品最終歸于支付意愿最高的競買人之手，它也是一種具有帕累托效率的配置機制。

本文所要研究的網(wǎng)上拍賣模型也是從私有價值模型分析入手，以分析傳統(tǒng)的網(wǎng)上最優(yōu)拍賣機制為切入點，在文章的第二、第三部分重點研究不同階段拍賣情形下的最優(yōu)參數(shù)設(shè)定問題，該擴展模型的提出將對網(wǎng)上拍賣提供非常有價值的理論支持與指導。

1 傳統(tǒng)的最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制

私有價值環(huán)境是學習拍賣理論的一系列的標準假設(shè)前提。從機制設(shè)計的角度，在這個環(huán)境中，最優(yōu)機制產(chǎn)生相同的收益。首先本文對模型進行描述。

假定有n個獨立的競標人，競標人i，i=1，…，n有一個固定的保留價格vi，現(xiàn)行價格如果超過了vi，競標人將不再投標，為了簡單起見，假定競標人的保留價vi服從均勻分布［α-β，α+β］，其中α是均值，β是離差。每一個競標人對每一單元的拍賣商品具有效用值U（vi-p），其中p是競標人贏得拍賣所要支付的價格。假定競標人都是風險中性的（risk-neutral），拍賣商品的供給量為m。

假設(shè)bi（vi）代表競標人i最后提交的價格?？梢钥闯蔀榍拔奶岬降母倶巳颂峤唤o“代理投標”競標價格。利用前文的結(jié)論，得知在Vickrey拍賣中，bi（vi）= vi對競標人i是占優(yōu)策略。

令v（1），…，v（n）為實際保留值的統(tǒng)計順序， v（1）最高，v（n）最低。從前文分析可知，具有私有價值v（1），…， v（m）的競標人將贏得拍賣物品。他們將支付的價格為v（m-1）。

假設(shè)不考慮參與成本，如果拍賣人設(shè)定的最小初始投標價r（minimum initial bid）為0元，所有的競標人都會發(fā)現(xiàn)競標是合理的。在拍賣進行過程中，不斷地會有新的競標人加入。令λ>0代表單位時間進入拍賣的流量。很明顯，當拍賣人選擇設(shè)定最小初始投標價時，不利于吸引更多的競標人加入。因此γ∈［α-β，α+β］決定了競標人的有效到達速率，可以表示為：

λ=λ

。（1-1）

下面將網(wǎng)上拍賣運行的相關(guān)成本考慮進去。

（1）固定成本：維持拍賣的固定成本。這種成本雖然固定發(fā)生，但并沒有確定的值，所以在模型中沒有考慮。

（2）庫存保持費：用h代表單位項目單位時間的庫存保持成本。

（3）廣告成本：通常情況下，這部分廣告費用是和瀏覽廣告的次數(shù)相關(guān)的，拍賣人每單位流量（例如λ）支付δ元。

那么全部成本就可以表示為：

C=mht+δλ。

那么網(wǎng)上拍賣的最優(yōu)設(shè)計問題實際上就是解決拍賣人最大化收益問題。

Max ∏（t，m，λ）=mγ+(α+β-γ)

-mht- δλ；（n>m）

nγ-mht- δλ。（n≤m） （1-2）

其中：

n=λt（）。

命題1：當n>hm時，存在一個最優(yōu)的拍賣時間長度t*：

t*=-。（1-3）

命題2：當（C1）n>m；（C2）2β>ht；（C3）γ>ht時，存在有最優(yōu)的數(shù)量m*：

m*=λt(1

-

+)

+。（1-4）

命題3：當γt（）>#981;時，存在最優(yōu)的到達率λ*：

λ*=-。 （1-5）

由于命題3的前一部分決定后一部分，分析的時候只需要討論前一部分即可。大多數(shù)網(wǎng)站在首頁展示一個特殊的商品，以使第一次瀏覽該網(wǎng)站的消費者能夠很快地發(fā)現(xiàn)這種商品。隨著越來越熟悉該網(wǎng)站，這部分競標人會根據(jù)目錄來尋找自己需要的商品。網(wǎng)站首頁的空間有限。命題3給網(wǎng)站的設(shè)計者一個很好的建議，即到底應(yīng)該在首頁展示何種產(chǎn)品，當競標人熟悉網(wǎng)站后應(yīng)該如何展示商品等。

以上介紹的是傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模式。在下一節(jié)中，本文將創(chuàng)新性地將傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模型擴展，使它更符合電子商務(wù)環(huán)境。

2 單階段最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制擴展模型研究

互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)使得來自全球的競標人都有機會參與到某一個商品的競標，為了消除時間的限制，網(wǎng)上拍賣人一般都盡量延長拍賣的時間以使得更多的競標人有機會了解到某類拍賣商品的存在，并且讓每一個競標人在方便的時候參加投標。那么這樣競標人到達拍賣的時間就是一個隨機的過程。本文突破傳統(tǒng)的研究方法的限制，分析更接近實際情況的最優(yōu)拍賣機制。

在這一節(jié)，放松確定性假設(shè)即n=λt，假設(shè)競標人是以非靜態(tài)泊松過程到達網(wǎng)站，概率密度為λ（t），0

F（t）=λ（x）dx。（2-1）

命題4：如果競標人到達拍賣是一個給定的泊松過程，那么期望的最終拍賣價格E［P］為：

E［P］=α+β-2β （m+1）。（2-2）

給定泊松分布的分布函數(shù)F（t），計算期望最終拍賣價格α+β-2β。

一般說來，如果商品的私有價值的離差較小，商品會通過固定價格出售，只有離差較大的商品才會拍賣。因此拍賣人可以調(diào)整離差β來吸引更多的競標人。然而，通過計算，這一方法是行不通的?？紤]下面的例子，假設(shè)拍賣時間T=l，私有價值的均值α=100。為了計算方便，本文假設(shè)網(wǎng)上拍賣模型中泊松過程的分布函數(shù)為F（t）= λat。

如果把拍賣價格看作是估值離差的函數(shù)。當拍賣人僅提供一個單元的商品并且網(wǎng)站的流量非常低的時候（m=1， λa=3），高的估值離差很顯然會使情況變得更糟。當網(wǎng)站的流量足夠大的時候（m=1， λa =6時），高的估值離差就會產(chǎn)生積極的影響。上述討論說明：只有當競標人數(shù)足夠多或者拍賣的流量足夠大的時候，高的估值離差對最終拍賣價格有積極的影響。拍賣人必須確保下面的關(guān)于拍賣品數(shù)量m和網(wǎng)站流量之間的關(guān)系：如果在t時刻之后，競標人的數(shù)量的均值下降的話。拍賣人可以從高的估值離差中受益。邊際條件如下：

2（m+1）(1-e）

高的估值的不確定性說明這種商品沒有確定的市場價格。拍賣人必須非常謹慎地觀察拍賣價格的波動。這就可以理解為什么很多網(wǎng)站都非常關(guān)心拍賣商品跌價（give-away）的風險，而且采取了很多有效的措施：

（1）大多數(shù)網(wǎng)站將具有高跌價風險的特征商品放到首頁，以增加這類商品的流量（λ）。使用這一技術(shù)的典型代表是uBid。

（2） Amazon和eBay是設(shè)置保留值拍賣網(wǎng)站的典型代表。拍賣人具有獨立的私有保留值，只有當拍賣價格達到或者超過這個保留值的時候，交易才能達成。

（3）有些如Onsale.com的網(wǎng)站用一個有趣的方法來避免跌價風險。每一個拍賣開始于一個單元拍賣，隨著競標人數(shù)的增加，拍賣數(shù)量增加。這種方法可以既不放棄多銷售商品的機會，又可以盡量避免跌價風險。

拍賣網(wǎng)站一般都會設(shè)置一個相對較低的初始投標價格。這樣，剛進入網(wǎng)站的競標人會觀察到一個相對較低的價格，會吸引更多的競標人加入。

根據(jù)（2-2），期望的拍賣價格可以改寫為：

E［P］= α-β+2β（1-ω（t））。（2-3）

其中：ω（t）= 。

公式中的ω（t）度量的是最終拍賣價格比最高估值α+β低的比率。在整個拍賣過程中，隨著更多的競標人的加入，拍賣價格會單調(diào)遞增。隨著價格的升高，那些私有估值低于現(xiàn)行拍賣價格的競標人將自動退出拍賣，這實際上也相對地減少了額外的參與者（降低了泊松概率密度）。泊松概率密度λ因此和ω（t）成比例。令ρ為競標人的邊際到達率，用來衡量由于價格下降而帶來的單位流量的增加。用數(shù)學形式來表述，可以得到：

λ（ω（t））= ρω（t）。（2-4）

由于泊松過程是密度函數(shù)在時間上的積分，收益函數(shù)即可以表示為：

∏（m，t）= mα+β-2β-ht。（2-5）

3 多階段最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制

在網(wǎng)上拍賣中，很多拍賣人不是一次將所有的物品都進行拍賣，而是每次提供一定的份額。這提出了一個很有意思的問題：是否應(yīng)當將拍賣物品分成多份？如果有益，應(yīng)當進行幾次拍賣？每一階段的拍賣的數(shù)量是多少？能否收集到有用的信息來提高下一次拍賣的效果？

假設(shè)拍賣人需要拍賣的商品數(shù)量是固定的。他可以用一次拍賣將商品全部出售，也可以將商品分多次拍賣。由于每一次投入的拍賣商品數(shù)量少，每一階段的拍賣價格將會提高，拍賣人可以通過高的價格受益。另一方面，每一階段都將發(fā)生固定成本和單位商品的固定費用。以上因素提出了兩個重要的拍賣機制設(shè)計問題：

（1）為最大化多階段的全部收益，分幾個階段為最優(yōu)？

（2）給定了最優(yōu)的階段數(shù)，那么在每一個階段最優(yōu)的拍賣數(shù)量是多少？

令i＝1，2，…，T為階段數(shù)。本節(jié)公式中符號含義與前文介紹得一樣。令mi為第i階段拍賣品的數(shù)量。已證明在某一階段拍賣中，期望的拍賣價格可以寫成：

E［P］=α-β+2β

。（3-1）

從上式可以看出期望價格隨α和n的增加而增加，隨m的增加而減少。令t代表拍賣時間。為了方便計算，假設(shè)競標人以速率λ進入拍賣。那么拍賣中的期望競標人數(shù)為n=λt，則可以將期望價格改寫為：

E［P］=α+β-2βθ（m+1），

其中：θ ==。

θ是對拍賣網(wǎng)站流量的度量。令mi代表階段i拍賣品的數(shù)量。每一階段的初始庫存量為xi，令fi（xi，mi）表示在從階段i開始到拍賣結(jié)束的最大收益。其中，mi∈［0，xi］。

在每一個階段，拍賣人的收益是由拍賣品數(shù)量和拍賣結(jié)束價格決定的。每一階段的結(jié)束價格由前面論證可以得到。假定只要現(xiàn)行的價格低于競標人的私有估值，進入拍賣的競標人都會參與競價。那么第i階段的拍賣人的收益為：

mi（α+β-2βθ（mi+1））。

在模型中，假定出售商品的成本為0，每一個階段的拍賣時間和長度是固定的，競標人的數(shù)量也相同。同時假定n=λt足夠大，這樣以保證收益為正，即θ<。mi為決策變量，模型設(shè)計的主要目標就是找出每一階段的最優(yōu)mi*，使得拍賣人的各階段的總收益最大。

令h為單位時間拍賣人所發(fā)生的庫存成本。一些通過網(wǎng)上拍賣的出售的拍賣商品多為高科技產(chǎn)品，而這類產(chǎn)品折舊很快。因此這部分庫存成本是很高的。如果t為每一個階段的拍賣所持續(xù)的時間。為了計算的簡便，可以令每一階段的庫存成本為miht。

動態(tài)規(guī)劃算法是解決多階段決策過程最優(yōu)化的一種有效的數(shù)學方法。本文就應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃算法來解決多階段拍賣的決策問題。通過上面的分析，結(jié)合每一階段的收益與成本，可以得到如下動態(tài)規(guī)劃的基本方程：

fi（xi）=opt{ fi+1（xi-mi）+ mi（α+β-2βθ（mi+1））- miht-C}

fT+1（xT+1， mT+1）=0， i=1，2，…，T（3-2）

其中：θ=，fT+1（xT+1， mT+1）=0為中止條件。

命題5：拍賣人多階段的最優(yōu)收益為：

fi*（xi）=（T-1）T（T+1）+（α+β-2βθ）x-βθ+

（T+1）htx-TC。（3-3）

公式（3-3）是一個關(guān)于T的4次多項式，對T求導會有3個節(jié)點，其中有一個節(jié)點易見為0，另外兩個節(jié)點假定T1，T2。那么可以得到一個如何得到最優(yōu)階段T*數(shù)的計算方法，即：

T*=Arg Max{ fi*（xi，T1）， fi*（x，T2）， fi*（xi，m）}。 （3-4）

公式（3-4）說明最優(yōu)階段數(shù)可以從內(nèi)部解（T1，T2）和角點解（m）中獲得。如果T*=mz，說明拍賣人應(yīng)該每一階段拍賣出售一單元的商品。

拍賣人一旦決定了最優(yōu)階段數(shù)T*，他必須指出每一階段的最優(yōu)拍賣數(shù)量m*，命題6精確地確定了每一階段的最優(yōu)拍賣品的數(shù)量。

命題6：在階段i的最優(yōu)拍賣品數(shù)量為：

m*= m+，（3-5）

其中：θ=。

給定最優(yōu)的階段數(shù)，通過這個公式?jīng)Q定了每個階段的最優(yōu)拍賣數(shù)量。從命題6中可以看出高的估值離差導致早期的拍賣相對較少。相反，被消費者關(guān)注程度低的商品一般估值離差程度較高。實際上，高的估值離差會使拍賣人得到一個相對較高的最終拍賣價格。這是因為，如果參加拍賣的競標人足夠多的話，那么拍賣人就有機會遇到對拍賣商品估值較高的競標人。

4 總 結(jié)

本文在分析了網(wǎng)上拍賣與傳統(tǒng)拍賣的不同以后，將傳統(tǒng)的網(wǎng)上拍賣模型進行橫向擴展和縱向擴展，得出了對拍賣人機制設(shè)計問題中很重要的結(jié)論，包括最優(yōu)的拍賣品數(shù)量、最優(yōu)的競標人到達率以及最優(yōu)拍賣時間等等，使其更接近網(wǎng)上商務(wù)的最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制。同時本文還對電子商務(wù)中新的經(jīng)濟現(xiàn)象進行了理論分析，將最優(yōu)網(wǎng)上拍賣機制擴展到多階段情形，應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃算法，解決了多階段決策問題，計算出了最優(yōu)的拍賣階段，以及在每一階段中的最優(yōu)拍賣數(shù)量。使得網(wǎng)上拍賣理論的研究更加深入，理論體系更完善。特別需要指出的是，由于篇幅的限制，本文沒有給出具體的計算過程，詳細的計算過程可以參考作者的其他相關(guān)文獻。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文