小學數學中上位觀念教學探析

　　新課程改革下，小學數學課程標準安排了數與代數、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應用四個學習領域。課程內容的學習，強調學生的數學活動，發(fā)展學生的數感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念，以及應用意識與推理能力。但大部分學生在學習中都是把這四部分肢解開來分散學習，同樣教師在教學和教材的呈現(xiàn)上也是把每部分各自獨立的講解給學生。這樣做的后果是學生接觸的總是零碎的各種知識點，缺乏觸類旁通與整合的能力，學生的學習被捆綁在不斷接受和記憶新的知識點上，不能做到對知識的融會貫通，在激發(fā)智慧、培育創(chuàng)造靈感等方面的效果更不明顯。在學習和保持時，往往機械地記憶學習材料，以達到考試的目的。學生常常會體驗到不必要的困難，而很少有成功的機會。那么怎樣做才能減輕學生的學習負擔，讓他們真正的運用已有的數學觀念去主動學習呢？
　　
　　一、上位學習概念的引入
　　
　　奧蘇貝爾的學習理論提供了解決的辦法，他根據將要學習的新內容與學習者已經知道的相關內容之間的關系，把學習分為下位學習、上位學習、并列結合學習。
　　如果將要學習的新內容在包攝和概括水平上低于學習者原有認知結構中已有的相關內容，這時的學習就是下位學習或類屬學習。
　　如果將要學習的新內容在包攝和概括水平上高于學習者原有認知結構中已有的相關內容，這時的學習就是上位學習或總括學習。
　　如果將要學習的新內容不能與認知結構中某些特定的內容構成下位關系（從屬關系）或上位關系（總括關系），那么，這時的學習就是并列結合學習。這種學習和記憶都比較困難。
　　認知結構的層次組織是按包容性逐漸下降的方式進行的，而且這種學習具有通過一個使未分化的領域逐漸分化獲得增長的機制。但現(xiàn)在的小學數學教學卻是習慣把某些數學觀念或課題肢解在相應的章節(jié)里而相互隔離。要求學生在習得一定數量并處于適當概括水平的相關的起歸屬作用的觀念以前，先學習新的和不熟悉的那些知識細節(jié)，導致了上面學習現(xiàn)象的發(fā)生。所以，在教學中應嘗試遵照奧蘇貝爾的學習理論，在學習知識點的同時，適當滲透可以連接各領域學習內容的上位數學觀念。當學生初步形成這些上位數學觀念時，再逐步把零散的知識點歸屬到這些上位觀念之下，從而產生最優(yōu)的學習效果。
　　
　　二、在教學中滲透上位觀念學習的效果研究
　　
　　下面就以實際教學為例研究一下在數學教學中滲透上位數學觀念的效果。
　　1.“轉化”思想在教學中的應用
　　“轉化”思想是研究和解決數學問題的一種有效的思考方法，是運用事物運動、變化、發(fā)展和事物之間互相聯(lián)系的觀點，把未知變?yōu)橐阎?，把復雜變?yōu)楹唵蔚乃季S方法。在小學數學的教學中如果教師能在教學中結合具體的教學內容，滲透數學“轉化”思想，有意識地培養(yǎng)學生運用“轉化”思想解決問題，就可以讓學生找到不同類知識學習上的共同之處，觸類旁通，從而大大提高教學效果。
　　例如，筆者在五年級“除數是小數的除法”的運算教學過程中這樣提問：你會解答什么樣的除法算式？我們怎樣把小數除法轉化成整數除法進行計算呢？看完下面的習題后，請進行思考。
　　(1)填寫并思考各式之間有什么規(guī)律，運用了什么運算性質。
　　62/2=（ ）；620/20=（ ）；6200/200=（ ）；
　　(2)在括號里填上合適的數，除數必須是整數，商不變。
　　3.2/0.4=（ ）/（ ）；3.6/0.006=（ ）/（ ）；
　　42/0.105=（ ）/（ ）；1.125/0.45=（ ）/（ ）。
　　通過這組習題，重溫了“商不變”的性質，讓學生明了轉化法的應用，鼓勵學生實現(xiàn)了除數由小數到整數的轉化，學生在充分感知中明確了算理，在探索中逐步掌握了算法，同時加深了對轉化觀念應用的認識。在數的運算中，都是把小數乘法、除法轉化成整數乘法，分數除法轉化成分數乘法等；同時在幾何知識中，也是把平面圖形的面積公式與立體圖形的體積公式等的推導轉化成已學過的圖形進行。教師如果通過數學不斷地讓學生了解、認識數學的轉化方法，逐步滲透轉化意識，當學生認識轉化觀念以后，在學習其它的知識時，只要稍加點撥，學生就能運用這種觀念自主的學習。
　　在學習完運算這一單元后，緊接著學習長方體、正方體的體積計算。筆者讓學生計算一個不規(guī)則的鐵塊的體積，學生們頓時議論紛紛，認為不可能計算，因為無法計量它的長、寬、高。但當筆者在黑板上寫出“轉化”兩個字后，不久就有學生提出，可以把它轉化為標準的長方體，然后再進行計量與計算。可是怎么轉化呢？通過小組討論后，學生們的答案可謂精彩紛呈。
　　小組一：可以請鐵匠師傅幫個忙，讓他敲打成一個規(guī)則的長方體后再計算。
　　小組二：可以用一塊橡皮泥，根據鐵塊的形狀，捏成一個和它體積一樣的模型，然后把橡皮泥捏成長方體或正方體。
　　小組三：用鋼鋸把它鋸成一個規(guī)則的長方體，然后把鐵屑壓在一個長方體的模具中進行計量，最后把兩個體積相加。
　　小組四：把這個鐵塊扔到一個裝有水的長方體的水槽內，看看水面上升了多少，拿水槽內底面的長、寬與水面上升的高度相乘得到鐵塊的體積。
　　小組五：還有更簡單的，就是把鐵塊放到一個裝滿水的量杯內，使之淹沒，然后拿出來，看看水少了多少毫升，這個鐵塊的體積就是多少立方厘米。
　　這兩個課例表明，正是由于學生在運算教學中認識到了“轉化”這一上位數學觀才能在空間與圖形學習中主動參與，從自身知識基礎與經驗出發(fā)，把新知轉化成舊知，建立新舊知識的內在聯(lián)系，促進新知識結構的建立，進而主動地理解和掌握轉化的方法，提高學生自主學習的能力。
　　2.類比觀念在教學中的應用
　　類比就是根據兩個對象之間在某些方面的相同或相似，推出它們在其它方面也可能相同或相似的一種推理方法。類比的觀念在小學數學教學中的應用也很廣范，教師在教學過程中如果適當地培養(yǎng)學生運用類比法進行合情推理的能力，就可以促進學生思維的變通，提高其思維的創(chuàng)造性。
　　例如，低中年級應用題中經常出現(xiàn)“松樹比楊樹少15棵”類型的題目，學生對其中的“相比較的兩個量誰多誰少？”這個問題的回答往往是“楊樹少，松樹多”，盡管教師多次提醒學生要認真看清題目，但學生還是“不聽話”，其實學生對這句話沒有理解。可以用類比法進行引導，效果會很好。問：“小龍，你幾歲了？”（9歲），“你媽媽今年多大了？”（33歲），“那么，能不能根據誰比誰少說一句話？”答：“小龍的歲數比媽媽少24歲”。問：“同樣的，松樹比楊樹少15棵，是誰多誰少？”這樣的類比設問，學生學得既有趣又掌握得好。這種類比的觀念不僅在應用題教學中能得到應用，在空間與圖形知識的學習中也能起到很大的作用。
　　在教學“圓的周長”時，學生已有長方形和正方形周長的基礎，引導學生通過比較，得出它們的共同點：都是封閉的平面圖形，它們的周長都與圖形中的某些線段有關。那么圓的周長呢？讓學生大膽猜測，圓的周長是否也和其中的某條線段有關呢？再讓學生動手實踐，用繩測法、滾動法等多種方法測量出課前準備好的圓形物體的周長，對測量出的數據進行歸類整理成下表。
　　
　　通過表格中的數據，學生很容易看出：圓的周長總是直徑的3倍多一些。實際上，任何圓的周長和直徑的比值都是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，于是得到圓周長的計算公式：
　　圓的周長=圓周率×直徑
　　同樣類比的觀念在學習其它知識上也有其獨到的應用，“比和比值”的教學中，從兩個同類量之間的相除關系、不同類量之間的相除關系擴展到兩個一般數量之間的相除關系，引導概括出“兩個數相除，又叫做兩個數的比”。在除法的舊知識結構上尋找比的知識生長點，再通過與分數之間的對比，從而在比、除法和分數之間建立起牢固的聯(lián)系。為加深理解，可設計對比性的鞏固練習，從而建立起知識網絡。
　　不難看出，對學生而言，如果對類比的觀念有所領悟，就能把知識化難為易，激起探索的興趣。類比的觀念不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得自然和簡潔，從而激發(fā)學生的創(chuàng)造力。有意識地、合理地運用類比法，學生可以在問題質疑和研究過程中，體驗到“真正的創(chuàng)新”所帶來的愉悅，這是創(chuàng)新精神的“源動力”。
　　“轉化”和“類比”只是小學數學中運用比較廣泛的兩個數學觀念，在小學數學教學中經常運用到的上位數學觀念還有統(tǒng)一的數學觀念、假設求證的數學觀念、按區(qū)間分類的數學觀念、極限的數學觀念等等。雖然這些觀念不能作為知識目標直接講給學生，但是如果教師在教學過程中注意滲透這些觀念就可以幫助學生在這些上位觀念的指導下建立不同知識之間的聯(lián)系，自主地、創(chuàng)造性地學習，真正做到“授人以漁”。
　　
　　三、在數學教學中滲透上位觀念學習的局限
　　
　　雖然在小學數學教學中適當的滲透上位數學觀念可以解決學生把知識點割裂開、被動接受知識的問題，但在具體的教學過程中還存在著一定的局限性。
　　一是上位觀念學習效果的遲效性。由于教材的呈現(xiàn)方式是按知識領域把知識點分成若干個單元，所以當學生認識到一些數學觀念以后，教師無法做到讓學生馬上運用這種觀念去學習相聯(lián)系的知識，同時學生也不容易馬上體驗到在上位觀念指導下學習的順利，使教師無法對上位觀念學習的效果進行評價。
　　二是上位觀念滲透的無標準性。雖然大家都承認小學數學教學中可以滲透很多數學觀念，但這些數學觀念的滲透大都是一線教師通過自己的經驗總結而成的。而指導小學數學學習的上位觀念都有哪些，在哪些知識點上可以用到這些觀念卻沒有權威性的標準。這就使教師只能用自己的經驗來對學生進行滲透，而無法把這些觀念的學習融入到教學目標中去。
　　總之，在小學數學中融入上位觀念的教學，一方面可以把零散的知識點歸屬到這些上位觀念之下從而讓學生產生最優(yōu)的學習效果；另一方面可以把學生從不斷地接受和記憶新的知識點的捆綁中解脫出來，從而減輕學生的學習負擔，讓他們真正的運用已有的數學觀念創(chuàng)造性地主動學習。但是實際教學中上位觀念的教學還存在一定的局限性，這種教學方式還需要不斷的探索和完善，當這種教學方式成熟后或許會成為小學數學課程改革的一條新路。
　　（作者單位：北京市大興區(qū)黃村鎮(zhèn)第一中心小學）