例析一次函數(shù)新定義題

唐耀庭

近年中考中，屢屢出現(xiàn)新型試題——新定義型問題.此類題目以“新定義”為呈現(xiàn)形式，要求學(xué)生按新定義操作或?qū)懗霾僮鞑襟E.學(xué)生需多角度、多層次、多側(cè)面地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題.這類試題新穎別致，頗具魅力，成為近年中考中的奇葩.現(xiàn)以一次函數(shù)中考試題為例加以說明.

例1（2007年·浙江）設(shè)有關(guān)于x的一次函數(shù)y=a 1x+b1與y=a2x+b2，則稱函數(shù)y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）為此兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)．

（1）當(dāng)x=1時(shí)，求函數(shù)y=x+1與y=2x的生成函數(shù)的值；

（2）若函數(shù)y=a1x+b1與y=a2x+b2的圖象的交點(diǎn)為P，判斷點(diǎn)P是否在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說明理由．

解：（1）兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)為y=m·（x+1）+n·（2x），其中m+n=1.當(dāng)x=1時(shí)，y=m·（1+1）+n·（2×1）=2m+2n=2（m+n）.

∵m+n=1，∴y=2．

（2）點(diǎn)P在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）.

由題設(shè)，有a1·a+b1=b，a2·a+b2=b.

對于生成函數(shù)y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），當(dāng)x=a時(shí)，y=m（a1·a+b1）+n（a2·a+b2）=mb+nb=b（m+n）=b.

∴點(diǎn)P（a，b）在這兩個(gè)函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上．

點(diǎn)評：新定義是解題的切入點(diǎn)和突破口，要反復(fù)利用.要認(rèn)真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法以及計(jì)算方法等，并且正確理解引進(jìn)的新知識，讀懂范例的應(yīng)用.然后再根據(jù)介紹的新知識、新方法進(jìn)行計(jì)算，并與范例的運(yùn)用進(jìn)行比較，防止出錯.本例中，生成函數(shù)顯然是一次函數(shù)，其圖象為直線，且經(jīng)過原來兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn).所以生成函數(shù)圖象就是過“交點(diǎn)”的一系列直線（因生成函數(shù)不僅僅表示一個(gè)函數(shù)）.

例2（2008年·紹興）定義［p，q］為關(guān)于x的一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù)．

（1）若特征數(shù)是［2，k-2］的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求k的值；

（2）設(shè)A（0，-4），若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，且圖象與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為4，求這個(gè)一次函數(shù)的特征數(shù)．

解：（1）∵特征數(shù)為［2，k-2］的一次函數(shù)為y=2x+k-2，

∴k-2=0，k=2．

（2）設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為B（m，0）.

由題設(shè)， ｜m｜·4=4，故m=±2. B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）.

∴由待定系數(shù)法易求得一次函數(shù)為y=-2x-4或y=2x-4.

∴特征數(shù)為［-2，-4］或［2，-4］．

點(diǎn)評：特征數(shù)，顧名思義就是把一次函數(shù)的特征刻畫出來的“數(shù)”.給出了特征數(shù)，一次函數(shù)就確定下來了，反之也正確.特征數(shù)與一次函數(shù)形成一一對應(yīng)關(guān)系.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文