趣談勾股定理

錢懷蓮

我國古人很早就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”.當(dāng)時把較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾為3，股為 4，那么弦為5.所以我國稱反映勾、股、弦長度之間的數(shù)量關(guān)系的一個命題為勾股定理.西方國家稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

例1如圖1，四邊形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，圖中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的邊長為7 cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為cm2.

分析：這個圖形是勾股樹的一部分.根據(jù)勾股定理，易得SA + SB = SE，SC + SD = SF，SE + SF = SH .

∴SA + SB + SC + SD = SH = 7 × 7 = 49（cm2）.

解：正方形A、B、C、D的面積之和為49 cm2.

總結(jié)：這里的H相當(dāng)于樹干，A、B、C、D、E、F等相當(dāng)于樹枝.還可以向外面繼續(xù)延伸畫勾股樹.由以上分析可以知道，對勾股樹來說，樹枝部分最外面的正方形的面積的和 = 最大的正方形的面積.大家可以思考一個與本題有關(guān)的問題，即所有正方形的面積之和是多少.

例2觀察下列表格：

請你結(jié)合下頁表1及相關(guān)知識，求出m、n的值.

解：設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，a < b < c，則a2 + b2 = c2（a、b、c均為正整數(shù)）.

觀察可知表格中的規(guī)律是：當(dāng)a為奇數(shù)時，則b、c是兩個連續(xù)的正整數(shù)，且b + c = a2.

如（5，12，13），則12 + 13 = 52；（7，24，25），則24 + 25 = 72.

所以有132 = 169 = m + n，又m比n小1，所以m + m + 1 = 169，m = 84，n = 85.

總結(jié)：（1）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍，仍是勾股數(shù)，如3，4，5是勾股數(shù)，則6，8，10也是勾股數(shù)．

（2）常見的勾股數(shù)有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它們的整數(shù)倍也都是勾股數(shù).這些勾股數(shù)應(yīng)當(dāng)牢記，以便解題時及早發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

（3）設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，a < b < c，a2 + b2 = c2（a 、b 、c均為正整數(shù)）.

①當(dāng)a為奇數(shù)時，則b 、c是兩個連續(xù)的正整數(shù)，且b + c = a2；

②當(dāng)a為大于4的偶數(shù)時，則b、c是兩個連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)，且b + c =a2.

例3學(xué)習(xí)了勾股定理以后，有同學(xué)提出：“在直角三角形中，三邊長a、b、c滿足a2 + b2 = c2，或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系.”讓我們來做做實(shí)驗(yàn)!

（1）畫出任意一個銳角三角形，量出各邊的長度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長分別是a = mm，b = mm；較長的一條邊長c = mm. 比較a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.

（2）畫出任意一個鈍角三角形，量出各邊的長度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長分別是a = mm，b = mm；較長的一條邊長c = mm. 比較a2 + b2（填“>”，“ < ”或“ = ”）c2.

（3）根據(jù)以上的操作和結(jié)果，結(jié)合這位同學(xué)提出的看法，你猜想的結(jié)論是：.利用勾股定理證明你的結(jié)論．

解：（1）、（2）略.

（3）猜想的結(jié)論是：△ABC的三邊長分別為a、b、c.若△ABC是銳角三角形，則有a2 + b2 > c2；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2 + b2 < c2.證明如下：

①當(dāng)△ABC是銳角三角形時，如圖2，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.設(shè)CD = x，則有BD = a - x.根據(jù)勾股定理，得b2 - x2 = AD2 = c2 - （a - x）2.

即b2 - x2 = c2 - a2 + 2ax - x2.故a2 + b2 = c2 + 2ax.

∵a > 0，x > 0，

∴2ax > 0. a2 + b2 > c2.

②當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，如圖3，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D.

設(shè)CD = x，則有BD2 = a2 - x2.

根據(jù)勾股定理，得AD2 + BD2 = AB2，（b + x）2 + a2 - x2 = c2．即a2 + b2 + 2bx = c2.

∵b > 0，x > 0，

∴2bx > 0. a2 + b2 < c2.

總結(jié)：（3）中得到的結(jié)論，可以用來判斷一個三角形的形狀.若a < b < c，當(dāng)a2 + b2 > c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2 + b2 < c2時，△ABC為鈍角三角形；當(dāng)a2 + b2 = c2時，△ABC為直角三角形.Y

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文