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    巧解鐘表夾角問題

    2008-11-11 10:02:10
    關(guān)鍵詞:小格時(shí)針分針

    陳 亮

    鐘表指針夾角問題看似復(fù)雜,但概括起來無外乎兩種情形:一是單針轉(zhuǎn)過的角度問題,二是分針、時(shí)針夾角問題.只要同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí),是很容易掌握其解題要領(lǐng)的,下面分別介紹.

    一、求單針轉(zhuǎn)過角度的方法(單針是指時(shí)針或分針)

    因?yàn)殓姳砩系男「駥⒈肀P平均分成60份,每一份(即1小格)對應(yīng)6°,每一格(1格等于5小格)對應(yīng)30°,所以,單針(分針或時(shí)針)轉(zhuǎn)過的角度等于單針轉(zhuǎn)過的小格數(shù)(也是分鐘數(shù))乘以6°,時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度還等于時(shí)針轉(zhuǎn)過的格數(shù)乘以30°.

    例1從2時(shí)30分到2時(shí)55分,時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度大小是;2時(shí)15分到5時(shí)30分,時(shí)鐘的時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度大小是 .

    解析:本題的兩問都是求單針轉(zhuǎn)過的角度.因?yàn)閺?時(shí)30分到2時(shí)55分,分針共轉(zhuǎn)過55 - 30 = 25(min)(也就是25小格),所以,分針轉(zhuǎn)過的角度等于25 × 6° = 150°;從2時(shí)15分到5時(shí)30分,時(shí)針共轉(zhuǎn)過了5- 2= 5.5 - 2.25 = 3.25(h),所以,時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度等于3.25 × 30° = 97.5°.

    二、分針與時(shí)針夾角問題,我們可用公式求解

    為方便敘述,先設(shè)定本情形中涉及的三個(gè)量,時(shí)針的點(diǎn)數(shù)用d表示,分針的分鐘數(shù)用f表示,兩針的夾角用α表示.下面,我們探索d、f、α這三個(gè)量之間的關(guān)系.

    因?yàn)殓姳淼臅r(shí)針12 h轉(zhuǎn)一圈,分針1 h轉(zhuǎn)一圈,所以,分針的速度是時(shí)針?biāo)俣鹊?2倍.分針每分鐘轉(zhuǎn)的角度是6°,則時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)為× 6° = 0.5°,分針與時(shí)針每分鐘夾角變化的度數(shù)就是6° - 0.5° = 5.5°.假設(shè)d時(shí)f分時(shí)兩針的夾角為α°,那么分針f min轉(zhuǎn)(6 f)°,時(shí)針f min就轉(zhuǎn)× (6 f)° = (0.5 f)°,我們以前一個(gè)最近的整點(diǎn)為基準(zhǔn),分針、時(shí)針夾角的度數(shù)顯然等于分針、時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度之差.如果分針在前,則

    α = (6 f)°- [(30d)° + (0.5f)°],

    即α = (5.5f)° - (30d)°.

    如果時(shí)針在前,則

    α = (30d)° + (0.5f)° - (6f)°,

    即 α = (30d)° - (5.5f)°.

    總之,無論分針在前還是時(shí)針在前,都有α = |(30d)° - (5.5f)°|.

    這就是解決分針與時(shí)針夾角問題的公式,實(shí)踐中,我們應(yīng)該有“任意知道d、f、α中的兩個(gè)量可求出第三量”的靈活性.

    例2鐘表在1時(shí)20分時(shí),它的時(shí)針與分針?biāo)山堑拇笮∈?.

    解析:由題意,知d = 1, f = 20,所以α = |30 × 1 - 5.5 × 20| = 80°.故填80°.

    例3鐘表在5時(shí)過多少分時(shí),分針與時(shí)針的夾角為90°?

    解析:本題已知d與α,要求f,可以用方程的思想解題.

    設(shè)鐘表在5時(shí)過f分時(shí),分針與時(shí)針的夾角為90°.由題意,知d = 5,α = 90°.于是可得方程

    30° × 5 - (5.5f)° = 90°

    解得f1 =, f2 =.

    答:鐘表在5時(shí) 分或5時(shí) 分時(shí),分針和時(shí)針的夾角為90°.

    指針重合問題,實(shí)質(zhì)是分針、時(shí)針夾角為0°的特例.

    例4在1時(shí)至2時(shí)之間的什么時(shí)刻,鐘表的分針與時(shí)針重合?

    解析:設(shè)在1時(shí)過f分時(shí),鐘表的分針與時(shí)針重合,根據(jù)題意,得

    30° × 1 - (5.5f)° = 0°.

    解得f =.

    至于整點(diǎn)時(shí)刻分針、時(shí)針的夾角,只需數(shù)出兩針之間(小于平角之間)的格數(shù),然后用格數(shù)乘以30°即可.

    例5 早上8時(shí)的時(shí)針與分針的位置如圖1,那么分針與時(shí)針?biāo)傻慕堑拇笮∈牵ǎ?

    A. 60°B. 80°C.120° D. 150°

    解析:選C.

    因?yàn)檎c(diǎn)時(shí)刻分針和時(shí)針的夾角等于兩針間的格數(shù)乘以30°,而本題兩針間的格數(shù)是4,所以夾角大小為4 × 30° = 120°.

    注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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