盤點“平面幾何”

丁廣林

《平面圖形及其位置關(guān)系》一章中重要的內(nèi)容是基本幾何圖形的特征和性質(zhì)、兩直線的位置關(guān)系及其特殊情況的研究，這部分內(nèi)容是進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是中考和競賽所涉及的重要幾何內(nèi)容之一.

一、利用直線的基本性質(zhì)及有關(guān)概念作圖.

例1種7棵樹，使其中的3棵樹在一條直線上，共排成6行（每一行只有3棵樹），請你畫圖表示出種樹的位置.

解析：把7棵樹看成7個點，每行看成一條直線，按照題目的要求，每一行有且只有3個點，顯然每個點至少為兩條直線的交點（而兩條直線相交有且只有一個交點），因為要求結(jié)果有6行，所以如果有的點是3條直線的交點，則這樣的點必有偶數(shù)個.因此種樹的方法可按圖1設(shè)計.

例2平面內(nèi)有10條直線，無任何3條直線交于一點，要使它們出現(xiàn)31個交點，應(yīng)怎樣安排？

解析：10條直線若都相交，無任何3條直線交于一點，有45個交點.而題目要求有31個交點，所以其中必有一些直線是平行的.具體設(shè)計如圖2.

二、根據(jù)所給的條件找規(guī)律，數(shù)基本幾何元素的個數(shù)，培養(yǎng)分類意識.

例3平面內(nèi)有10條直線兩兩相交，最多有幾個交點？

解析：探究如表1.

故10條直線最多有45個交點，得出規(guī)律為n條直線的最多交點個數(shù)是：1＋2＋3＋…＋（n－1） =個.

三、 鐘面角.鐘面角是競賽、中考常見的考點之一，時針與分針之間的夾角，可以看成是分針與時針追擊所形成的，因此求鐘面角也就轉(zhuǎn)化為行程問題中的追擊問題.

例4當(dāng)時間是2時32分時，分針與時針之間的夾角是多少？

解析：時針每小時轉(zhuǎn)1大格，即30°，所以每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，而分針每分鐘轉(zhuǎn)6°.當(dāng)時針指向整點時，分針指向12，因此我們以指向12點作為角的始邊.在2時32分時，時針與12時構(gòu)成的角是2 × 30°＋32 × 0.5° = 76°， 分針與12時構(gòu)成的角是32 × 6° = 192°，即2時32分時，分針與時針之間的夾角是192°－76° = 116°.

當(dāng)時針與分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度的差大于180°時，則需用360°減去這個角度.

如果用m表示時鐘數(shù)，用n表示分鐘數(shù)，即m點n分時，鐘面角的計算公式是：

（1） 當(dāng)時針在分針的前面時，鐘面角 = （30m＋0.5n－6n）°.

（2） 當(dāng)時針在分針的后面時，鐘面角 = （6n－30m－0.5）°n.

四、利用轉(zhuǎn)化的思想將立體圖形的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究.

例5如圖3，有一正方體盒子，在盒子的頂點A處有一只蜘蛛，而在對角的頂點C處有一只蒼蠅.蜘蛛應(yīng)沿著什么樣的路徑爬行才能在最短的時間內(nèi)捕捉到蒼蠅？

解析：蜘蛛所走的路徑有無數(shù)條，時間也各不相同，實際上本題是求從點A到點C的最短路徑.由于蜘蛛只能在盒面上爬行，所以我們可以考慮把盒面展開，使包含A與C的兩個盒面在同一個平面內(nèi).圖4所示就是其中的一種，根據(jù)兩點之間線段最短，只要連接AC即可.

線段AC就是所求的最短路徑.

五、拼圖.運用基本幾何圖形拼出符合條件的幾何圖形.

例6用一副三角板究竟能畫出多少個角度不同的角？這些角有沒有共同的特征？如果有，請說出理由.

解析：本題實際就是運用三角板的角拼圖.一副三角板有30°、45°、60°和90°的角，所以利用三角板很容易畫出30°、45°、60°和90°的角.利用角的和與差，還可以畫出15°、75°、105°、135°、150°的角，也就是說，用一副三角板可以畫出無窮多個角.

其共同的特征是：這些角的度數(shù)都是15的倍數(shù).設(shè)這些角可以由30°、45°分別重復(fù)畫m次和n次（其中m、n都是整數(shù)）合并而成，列出算式30m + 45n = α，即α = 15（2m + 3n），所以α總是15的倍數(shù).

六、易混概念之間的辨析.

課程標(biāo)準(zhǔn)雖然強調(diào)淡化概念，但判斷、填空、選擇這些考題中，就是考大家對概念的理解.不能對易混的概念加以區(qū)分，就無法做題.

例7判斷：一條直線就是一個平角，一條射線就是一個周角.

辨析：平角、周角是角，角有頂點、兩條邊、內(nèi)部、外部，而直線、射線不存在這些.

平角與直線，周角與射線僅僅是圖形相似，不是相同的概念.

七、綜合利用所學(xué)的幾何知識進行方案設(shè)計.

例8如圖5，A、B、C、D為4個不在同一條直線上的村莊，現(xiàn)在政府要建一個中轉(zhuǎn)站P，向4個村莊鋪設(shè)天然氣管道，中轉(zhuǎn)站P建在哪個位置最節(jié)省管道？

解析：要想節(jié)省管道，就要使中轉(zhuǎn)站P到4個村莊的距離之和最短.根據(jù)兩點之間線段最短，中轉(zhuǎn)站P既要在線段AC上，也要在線段BD上.因此線段AC與線段BD的交點就是所求作的點P.

八、綜合利用所學(xué)的知識解決實際生活中的問題.

例9有三根木棒擺到地面上，若按它們所在直線交點個數(shù)的不同來擺放，有幾種方法？試畫圖說明.

解析：此題實際上是求平面內(nèi)三條直線的交點個數(shù)是多少.如圖6，這個問題可以分成4種情況討論：（1）三條直線互相平行；（2）一條直線與兩條平行線相交；（3）三條直線過同一點；（4）三條直線交于三點.

例10如圖7，在公路l上有兩個城市A、B，公路外有一個村莊P.現(xiàn)要在公路上修建一個貨運站Q運輸農(nóng)產(chǎn)品，要使貨運站Q到兩個城市和村莊的路程之和最短，Q應(yīng)在何處？

解析：過點P作PQ⊥AB，垂足為Q.由兩點之間線段最短及點到直線的連線中垂線段最短可知，PQ＋AQ＋BQ最短，所以貨運站應(yīng)建在圖7中Q點.

例11建筑工人在砌墻時，為了保證墻面與地面（水平面）垂直，只要保證墻角的棱與地面垂直就行了，你能說明這個道理嗎？觀察一下工人師傅是怎樣保證墻角的棱與地面垂直的.

解析：一條直線與一組平行線中的一條垂直，它就與這組平行線中的任意一條都垂直.

工人師傅為了保證墻角的棱與地面垂直，常采用重物吊線的方法來檢查.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文