例談函數(shù)的應(yīng)用問題

劉中高

函數(shù)像一根紅線貫穿于小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)各學(xué)段的數(shù)學(xué)課程，它在日常生活及其他學(xué)科領(lǐng)域中用途也十分廣泛，因此學(xué)好初等函數(shù)對學(xué)生今后的發(fā)展就顯得更加重要.下面筆者結(jié)合自己多年來的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，舉例分析函數(shù)的應(yīng)用問題.

例1星期天媽媽讓小明到副食店買鹽.若每袋鹽1.5元，買x袋鹽需付款y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，說明x的取值范圍，并求出買7袋鹽需付款多少元.

解：這是一個(gè)一次函數(shù)，應(yīng)為y=1．5x，其中x>0.若買7袋鹽，則要付款1.5×7=10.5（元）.

例2媽媽帶小華坐出租車去姥姥家，出租車起步價(jià)5元（不超過2 km），超過2 km的部分按每千米3元計(jì)費(fèi).若小華家距姥姥家x km，需要付款數(shù)用y表示，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并分別求出當(dāng)路程為1.5 km和8 km時(shí)應(yīng)付的車費(fèi).

解：這是一個(gè)分段函數(shù)，當(dāng)x≤2時(shí)，y=5；當(dāng)x>2時(shí)，y=5+3（x-2）=3x-1.

x=1.5時(shí)，y=5. x=8時(shí)，y=3×8-1=23.

例3課外生物小組的同學(xué)準(zhǔn)備自己動(dòng)手，用籬笆建一個(gè)面積為24 m２的矩形飼養(yǎng)場，設(shè)其一邊長為x m，求另一邊長y（m）與x的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象.

例4如圖１，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)自己動(dòng)手，在一塊三角形鐵板上剪下一個(gè)矩形，使矩形的一邊與三角形的一邊重合.已知三角形中邊BC長16 cm，該邊上的高為8 cm，試寫出矩形的面積S與矩形的邊HE的長（設(shè)為x）的函數(shù)關(guān)系式，并求出矩形的長和寬分別是多少時(shí)矩形的面積最大.

解：BC=16 cm，高AD=8 cm，矩形EFGH的一邊EF與BC重合，高AD交HG于Q.設(shè)HE=x，HG=y，矩形面積為S，則AQ=AD-QD=AD-HE=8-x.

故所求的函數(shù)解析式是S=-2x２+16x（0

例5如圖2，一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃圈（水平距離）4 m處跳起投籃，球沿一條拋物線運(yùn)行.當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5 m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5 m，然后準(zhǔn)確落入籃圈內(nèi)，籃圈中心的高度為3.05 m.

（1）建立圖中所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8 m，這次跳投時(shí)，球在他頭頂上方0.25 m處出手，那么球出手時(shí)他跳離地面多高？

解：（1）由題意知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是D（0，3.5），對稱軸是x=0，由此設(shè)所求拋物線的函數(shù)式為y=ax２+3.5.

因AB＝4 m，AO=2.5 m，故OB=1.5，由此得C點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，3.05）.

把C點(diǎn)坐標(biāo)代入上面函數(shù)式，得3.05=a×1.5２+3.5，a=-0.2.

∴y=-0.2x２+3.5（-2.5≤x≤1.5）.

（2）先求出Ｅ點(diǎn)坐標(biāo).當(dāng)x=-2.5時(shí)，代入（1）的結(jié)論函數(shù)式，得

y=-0.2×（-2.5）２+3.5=2.25.

所以球出手時(shí)運(yùn)動(dòng)員跳離地面的高度為2.25-0.25-1.8=0.2（m）.

故所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.2x２+3.5（-2.5≤x≤1.5），球出手時(shí)，運(yùn)動(dòng)員跳離地面高度為0.2 m.

二次函數(shù)的應(yīng)用問題是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，解題時(shí)要找到解題的切入點(diǎn).如果沒有建立坐標(biāo)系，應(yīng)根據(jù)圖形和題意恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后進(jìn)行分析.為了求出結(jié)果，可以運(yùn)用逆向思維找到解題的關(guān)鍵.

總之，函數(shù)的應(yīng)用十分廣泛，要想根據(jù)實(shí)際情況解決相關(guān)問題，就必須先熟練掌握函數(shù)的概念、定義、圖象和性質(zhì)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行綜合運(yùn)用．只要善于觀察，合理分析，再難的函數(shù)綜合應(yīng)用題也會迎刃而解.