化斜為直用勾股

李厚明　陳伯平

勾股定理是直角三角形中特有的定理.它的應(yīng)用非常廣泛,是幾何中最重要的計(jì)算依據(jù)之一.尤其是在新的課程標(biāo)準(zhǔn)下,原有的計(jì)算公式及定理少了許多,所以不少問題都要靠勾股定理來解決.對于斜三角形,我們不能直接用它來解決問題,這時(shí)就需化斜為直,具體說就是用作高來構(gòu)造直角三角形.這方面的例子很多,復(fù)習(xí)中尤其要重視.下面舉例加以講解.

例1 等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求AC邊上的高.

分析:等腰三角形最重要的性質(zhì)是“三線合一”,所以我們可以作底邊上的高,求出三角形的面積,再用面積公式求AC邊上的高.也可以直接作AC邊上的高,利用方程求解.

解法1:過A作AD⊥BC,垂足為D.如圖1.

由AB=AC和AD⊥BC知,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以BD=CD=6.

在Rt△ABD中,

AD===8.

設(shè)AC邊上的高為h,則

S△ABC =BC·AD =AC·h.

代入數(shù)據(jù)可求得h=9.6,即為所求.

解法2:過點(diǎn)B作BD⊥AC,垂足為D.如圖2.

設(shè)CD=x ,則AD=10-x.

在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2.

同理,BD2=BC2-CD2.

從而得到方程 :102-(10-x)2=122-x2.

解之,得x=7.2.

所以BD==9.6,即為所求.

點(diǎn)評:解法1,間接求高,巧妙地利用了等腰三角形的性質(zhì)以及面積公式,運(yùn)算簡單;解法2,直接作高,但由于高不能直接求得,我們可用列方程的方法,先求CD,再用勾股定理求高,思路簡單,但運(yùn)算較復(fù)雜.這兩種方法在解題中均經(jīng)常使用,應(yīng)給予重視.

例2 △ABC中,AB=10,AC=8,∠A=60°,求邊BC的長.

分析:由于∠A=60°,AB=10,我們可考慮作AC邊上的高BD,求出AD?BD,再求出CD,最后利用勾股定理求BC.

解:如圖3,過點(diǎn)B作BD⊥AC,垂足為D.

在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠A=60°,

∴∠ABD=30°.

∴AD=AB=5,CD=3.

在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-52=75.

同理,BC2=BD2+CD2.

∴BC2=75+9=84.

∴BC==2.

點(diǎn)評:若三角形中有60°?30°或45°的角,但無直角,我們通常都是作高,把這些角放到直角三角形中去.這樣可以利用有關(guān)的特殊性質(zhì)(如等腰?直角邊是斜邊的一半等)去解決問題.

例3 如圖4,△ABC中,∠B=2∠C.求證:AC2-AB2=AB·BC.

分析:顯然,我們要構(gòu)造直角三角形,才能得出求證式左邊的形式.由此我們可以作BC邊上的高AD,關(guān)鍵是∠B=2∠C這個(gè)條件怎樣利用.聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”,我們可在DC上截取DP=BD,這樣可以利用∠B=2∠C,證得AP=CP.

證明:如圖5,過A作AD⊥BC,垂足為D.在DC上截取DP=BD,連接AP.

∴∠ADB=∠ADC=90°, AB=AP.

∴∠B=∠APB=2∠C.

∵∠APB=∠PAC +∠C,

∴∠C=∠PAC.

∴AP= CP.

在Rt△ACD中,

AC2=CD2 +AD2. ①

同理,AB2=BD2 +AD2. ②

① - ②得:AC2-AB2=CD2- BD2.

而CD2-BD2=(CD-BD)(CD+BD)=(CD-BD)·BC=(CP+DP-BD)·BC=CP·BC,

∴AC2-AB2=CP·BC.

∵CP=AP= AB,

∴AC2-AB2=AB·BC.

點(diǎn)評:本題實(shí)質(zhì)上是利用高線構(gòu)造了一對成軸對稱的三角形,而這種作輔助線的方法(作AD?AP),也是解“α =2 β”型問題的常用方法.解題關(guān)鍵是邊的等量代換.應(yīng)用代數(shù)方法化平方差為乘積式,也是本題的一大亮點(diǎn).

總之,把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,再運(yùn)用勾股定理,是斜三角形問題最常見也是最重要的解題思路.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文