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    勾股定理學(xué)習(xí)指要

    2008-10-15 10:53:38南秀全
    關(guān)鍵詞:油罐負數(shù)直角

    南秀全

    1. 勾股定理可用于求直角三角形的某一邊長.

    2. 要學(xué)會構(gòu)造(或?qū)ふ遥┲苯侨切?,運用勾股定理解決實際問題.如抓住立體圖形與平面圖形的關(guān)系,將立體圖形展開成平面圖形,進而構(gòu)造直角三角形,運用勾股定理解決問題.

    3. 構(gòu)造三角形(或?qū)ふ胰切危\用勾股定理的逆定理判斷某角是否為直角.

    例1如圖1,某機器零件呈四邊形ABCD的形狀,要求∠B=∠D=90°,AB=BC=5,CD=1.現(xiàn)測得∠B=90°,AB=BC=5,CD=1,DA=7.那么,這個零件合格嗎?

    分析:連接AC,由勾股定理可求得AC2.再看CD2+DA2是否與AC2相等.若相等,則∠D=90°,零件合格;若不相等,則∠D≠90°,零件不合格.

    解:略.

    說明:當(dāng)題目中已知條件比較分散時,應(yīng)通過構(gòu)造或?qū)ふ胰热切巍⒌妊切?、直角三角形等,將分散的條件集中,以利于解決問題.

    例2如圖2 ,鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點)相距25 km,C、D為兩村莊(視為兩個點),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B.已知DA=15 km,CB=10 km.現(xiàn)要在鐵路上A、B之間建一個土特產(chǎn)品收購站E,使C、D兩村到E的距離相等.那么,E應(yīng)建在何處?請給出你的設(shè)計方案和理由.

    分析:E應(yīng)建在何處,可由E到A的距離及E在A、B之間來確定.由于要求DE=CE,故可通過設(shè)未知數(shù),由等量關(guān)系建立方程來解決.

    解:設(shè)E建成后,AE=x km,則BE=(25-x) km.

    由勾股定理可得:DE2=AD2+AE2=152+x2,CE2=BC2+BE2=102+(25-x)2.

    ∴152+x2=102+(25-x)2.解得x=10.

    從而,E應(yīng)建在A、B之間距A站10 km處.

    說明:如果使E到C、D兩村的距離之和最小,如何確定這個最小值呢?請思考一下這個相關(guān)的問題.

    例3如圖3 ,一圓柱形油罐,要從A點環(huán)繞油罐建梯子,正好建到A點正上方的B點處.請你算一算梯子最短需多長.(已知油罐的底面周長是12 m,高AB是5 m)

    分析:如圖4 ,將油罐表面沿AB展開,展開后成長方形AA′B′B.在長方形AA′B′B中,AA′的長即是油罐的底面周長,A′B′的長即是油罐的高,故AA′=12 m,A′B′=5 m.由于高與底面垂直,故∠A′=90°,由勾股定理可求出AB′的長,即得所建梯子的最短長度.

    解:略.

    說明:解這類求最短長度或最短距離題的關(guān)鍵,是把立體圖形的側(cè)面展開(經(jīng)常會遇到是正方體或長方體的情況).同學(xué)們可考慮一個類似的問題,即當(dāng)B點在上底面的直徑另一端點處時(如圖5),梯子最短需多長?

    例4將兩塊三角板ABC和DBE按圖6所示放置,其中∠C=∠EDB=90°, ∠A=45°,∠E=30°,AB=DE=6.求重疊部分四邊形DBCF的面積.

    解:在Rt△DBE中,∠EDB=90°,∠E=30°,DE=6.

    設(shè)DB=x,則BE=2x,由勾股定理,(2x)2=x2+62,解得x=2.故AD=AB-DB=6-2.

    又∠A=45°,故∠AFD=45°,得FD=AD.

    ∴S△ADF=AD2=×(6-2)2=24-12.

    在等腰Rt△ABC中,斜邊AB=6,所以S△ABC=·AB·AB=9.

    ∴S四邊形DBCF=S△ABC-S△ADF=9-(24-12)=12-15.

    說明:在直角三角形中,如果知道一個角是特殊角(如45°,60°,30°),且知道一邊的長,則由勾股定理一定可以求得另兩邊的長,也能求出斜邊上的高h利用ab=hc,a、b為直角邊長,c為斜邊長.

    例5已知△ABC的三邊長分別為a、b、c,且a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,則△ABC是直角三角形嗎?如果是,指出它的哪一個角是直角;如果不是,說明理由.

    分析:由于二次項都只含有一個字母,故考慮配方變形,有(a2-10a+25)+(b2-24b+144)+(c2-26c+169)=0.然后利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a、b、c的值,再由勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀.

    解:略.

    說明:若一個等式中含有多個字母,且最高次數(shù)為二次,一般考慮配方,化成一邊是整式,一邊是0,轉(zhuǎn)化成幾個非負數(shù)的和等于0的形式,再由非負數(shù)的性質(zhì)求出各字母的值.在直角三角形中,最大邊(即斜邊)所對的角是直角.

    例6為了美化環(huán)境,某小區(qū)用30 m2的草皮鋪設(shè)一塊一邊長為10 m的等腰三角形綠地.請你求出這個等腰三角形綠地另兩邊的長.

    解:分三種情況計算.不妨設(shè)三角形綠地為△ABC,AB=10 m.過點C作CD⊥AB,垂足為D.則S△ABC=AB·CD=30(m2),解得CD=6 m.

    (1)當(dāng)AB為底邊時,AD=BD=5 m,如圖7.

    AC=BC==(m).

    (2)當(dāng)AB為腰且三角形為銳角三角形時(如圖8),AC=AB=10 m.

    AD==8(m),BD=10-8=2(m).BC==2(m).

    (3)當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時(如圖9).

    BC=AB=10 m,BD==8(m). AC==6(m).

    說明:解答本題要注意分類討論思想的應(yīng)用,避免出現(xiàn)漏解.對于沒有具體給出圖形的題目,一定要考慮各種可能的情況(是銳角三角形還是鈍角三角形?高在形外還是形內(nèi)?等等).有時,并不僅有兩種情況.

    注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文

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