勾股定理典型題舉例

朱元生

勾股定理及其逆定理是初中數(shù)學(xué)中極為重要的定理，揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，也給出了直角三角形的判別方法，有著十分廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)就其在解題中的常見應(yīng)用舉例如下.

例1如圖1，已知在△ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6，試求BC的長.

解析：延長AD到E，使DE=AD，連接BE，如圖2，則AE=2AD=12.由SAS易得到 △DBE≌△DCA.

所以BE=AC=13.在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，由 52+122=132，即AB2+AE2=BE2，根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABE為直角三角形，∠BAE=90°.在Rt△ABD中，BD===.所以BC=2BD=2.

想一想：三角形中若給出中線，常設(shè)法將中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形.同時(shí)，這樣做也可把分散的條件集中在一個(gè)三角形中.

例2如圖3，四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB=BC=4，AD=2，CD=6，試求∠BAD的大小.

解析：連接AC，如圖4.因?yàn)锳B⊥BC，AB=BC，所以∠BAC=45°.在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC2=32.在△ACD中，AD=2，CD=6，AC2=32，由AD2+AC2=22+32=36=CD2，根據(jù)勾股定理的逆定理，可知△ACD為直角三角形，∠DAC=90°.所以∠BAD=∠BAC +∠DAC =45°+90°=135°.

想一想：對(duì)那些僅給出邊長的題目，往往需要利用勾股定理的逆定理判斷出一些直角.

例3如圖5，在△ABC中，AB=15，AC=13，D為邊BC上一點(diǎn)，且AD=12，BD=9.試求△ABC的面積.

解析：在△ABD中，AB=15，BD=9，AD=12，由92+122=152，即BD2+AD2=AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABD為直角三角形.則△ACD也為直角三角形.在Rt△ACD中，CD===5，所以S△ABC=（BD+CD）·AD=84.

想一想：若去掉“如圖5”，將“D為邊BC上一點(diǎn)”改為“D為直線BC上一點(diǎn)”，則△ABC的面積又有何變化？有沒有鈍角三角形的情況？

例4直角三角形的一條直角邊長為7，另兩邊長均為自然數(shù)，則此三角形周長是（）.

A. 49B. 50C. 56D. 不確定

解析：直角三角形的三邊長應(yīng)滿足勾股定理，而題設(shè)條件中僅知一條邊的長，這給解題帶來了一定的困難.但由于另兩條邊既滿足勾股定理，又均為自然數(shù)，故可以構(gòu)造不定方程，求出直角三角形另外兩邊的長，三角形的周長也就可以求出了.

設(shè)直角三角形的斜邊長為x，另一條直角邊長為y，則x2-y2=72，即（x+y）（x-y）=49.由x+y>x-y，又x+y、x-y都為自然數(shù)，由（x+y）（x-y）=49×1，得到x+y=49，x-y=1.解得x=25，y=24.

所以三角形三邊長分別為7、24、25，則三角形的周長為56，故應(yīng)選C.

想一想：當(dāng)題目中出現(xiàn)不定方程時(shí)，常常要將方程兩邊分解因式和分解因數(shù)，得出有關(guān)的方程組.分解因式后，要注意分析各個(gè)因式的大小關(guān)系，以簡化判斷過程.

例5如圖6，在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，試判斷△ABC的形狀.

解析：在△ABC中，AD是高，所以AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+CD2，則AB2+AC2=BD2+2AD2+CD2.而AD2=BD·CD，所以AB2+AC2=BD2+2BD·CD+CD2=（BD+CD）2=BC2.

根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC為直角三角形.

想一想：本題還可通過把乘積BD·CD化為“和”的形式來解.BD·CD=[（BD+CD）2-BD2-CD2]=（BC2-BD2-CD2）.同學(xué)們不妨試試.

例6如圖7，在正方形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，AF∶FD=1∶3，求證：CE⊥EF.

解析：連接FC，如圖8.設(shè)AF=a，則FD=3a，AE=EB=（a+3a）=2a，BC=CD=4a.在Rt△AEF，Rt△BCE，Rt△CDF中：

EF2=AE2+AF2=（2a）2+a2=5a2；EC2=BE2+BC2=（2a）2+（4a）2=20a2；CF2=FD2+CD2=（3a）2+（4a）2=25a2.由5a2+20a2=25a2，即 EF2+EC2=CF2，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得△CEF為直角三角形，∠CEF=90°，所以CE⊥EF.

想一想：證明兩線垂直，首先要想到利用勾股定理逆定理構(gòu)造直角三角形.本題也可以延長FE與CB，使它們交于G.則△AEF≌△BEG（ASA）.BG=AF.可計(jì)算出EG.在△EGC中利用勾股定理逆定理證出EG⊥CE.

例7如圖9，已知△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC上一點(diǎn).求證：BD2+DC2=2AD2.

解析：要證明的式子與勾股定理相似，可考慮將其變形為BD2+DC2=（AD）2，由此可聯(lián)想到以BD、DC、AD為邊構(gòu)造一個(gè)直角三角形.過點(diǎn)C作CE⊥BC，并截取CE=BD.連接AE、DE，如圖10，則∠ACE=∠ABD=45°.又AB=AC，BD=CE，所以△ABD≌△ACE，從而∠BAD=∠CAE，AD=AE，則∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°.所以△ADE是等腰直角三角形，則DE2=2AD2.

在Rt△CDE中，CE2+DC2=DE2，而CE=BD，DE2=2AD2，所以BD2+DC2=2AD2.

想一想：本題也可以這樣想，把△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△ACE.本題還有一個(gè)更簡單的解法：過A點(diǎn)作AF⊥BC于F，設(shè)AF=x，DF=y，則BF=CF=x，BD2=（x-y）2，DC2=（x+y）2，AD2=x2+y2.

下面有幾道練習(xí)題，同學(xué)們不妨試一試：

1. 如圖11，在△ABC中，∠C=135°，a=，b=2，求c.

2. 如圖12，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB.

3. 如圖13，四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13.求四邊形ABCD的面積.

4. 在△ABC中，BC=2n+1，AC=2n2+2n，AB=2n2+2n+1，n為正數(shù)，試判斷△ABC的形狀.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文