勾股定理與數(shù)學(xué)思想的聯(lián)用

吳　平

正確運用數(shù)學(xué)思想是成功解題的關(guān)鍵所在.若能正確把握數(shù)學(xué)思想,可使思路開闊,解法簡潔.現(xiàn)舉例說明,供同學(xué)們參考.

一?方程思想

例1 如圖1,把長方形紙片ABCD折疊,使點D落在BC邊上的點F處.折痕為AE.若AB=12 cm,BC=13 cm,則EC= cm.

解析:根據(jù)折紙的特點知,AF=AD=13 cm.

設(shè)EC=x cm,則EF=DE=(12-x) cm.

在Rt△ABF中,

BF===5(cm).FC=BC-BF=13-5=8(cm).

在Rt△ECF中,由勾股定理得EF2=EC2+FC2.

故 (12-x)2=x2+82.解得x=.所以EC= cm.

點評:在只知道直角三角形一邊長時,可先設(shè)出一邊長,然后再根據(jù)題設(shè)條件用未知數(shù)表示出另一邊長,最后利用勾股定理建立方程求解.折疊問題中有不少相等的線段和角,解題時要充分利用這些條件.

二?分類討論思想

例2在△ABC中,AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,試求BC的長.

解析:三角形中某邊上的高既可在三角形內(nèi)部,也可在三角形外部,故此題應(yīng)分兩種情況來考慮.

當(dāng)BC邊上的高AD在△ABC的內(nèi)部時,如圖2,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,所以BD=9.

CD2=AC2-AD2=202-122=256,所以CD=16.

則BC=BD+CD=25.

當(dāng)BC邊上的高AD在△ABC的外部時,如圖3,同樣由勾股定理可求得CD=16,BD=9,此時,BC=CD-BD=16-9=7.

故BC的長為25或7.

點評:涉及高的問題,通常需要考慮三角形的各種可能情況:銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形.

三?轉(zhuǎn)換思想

例3 如圖4,圓柱形玻璃容器高18 cm,底面周長為60 cm.在容器外側(cè)距下底1 cm的點A處有一只蜘蛛,與蜘蛛正對的容器外側(cè)距開口處1 cm的點B處有一只蒼蠅.蜘蛛要想捉到蒼蠅,至少要爬多遠(yuǎn)?

解析:如圖5,將圓柱側(cè)面展開得到矩形MNQP,過點B作BC⊥MN于點C,連接AB,則線段AB的長度即為蜘蛛要爬的最短路程.

在Rt△ABC中,AC = MN-AN-CM =18-1-1= 16(cm).BC是底面的圓周周長的一半,即BC = 30 cm.

由勾股定理,得

AB2 =AC2+BC2=162+302=1 156,AB= 34 cm.

故蜘蛛至少要爬34 cm才能捉到蒼蠅.

點評:本題是求圓柱側(cè)面上兩點間最短路線的問題,解題的關(guān)鍵是將曲線變?yōu)橹本€,構(gòu)造直角三角形,為運用勾股定理創(chuàng)造條件.在長方體表面上也有類似的問題.

四?整體思想

例4 如圖6,D是Rt△ABC斜邊AB上的一點.DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E?F,且DE=DF.若AD=3,DB=4,則S△ADE+S△BDF= .

解析:要求S△ADE與S△BDF的和,由于只知道AD和DB的長,按照常規(guī)的方法,運用面積公式求面積條件不足,于是考慮從整體上求解.

設(shè)BF=m,AE=n,DE=DF=FC=EC=a.由勾股定理,得

n2+a2=32,①

m2+a2=42, ②

(n+a)2+(m+a)2=(3+4)2.③

由③得n2+2na+a2+m2+2ma+a2=49.將①?②代入有2na+2ma=24.na+ma=12.故S△ADE+S△BDF=(na+ma)=6.

點評:考慮整體思想的應(yīng)用,所求問題即可明朗.事實上,本題并不需要分別求出m?n?a,而且由①?②?③求出m?n?a也很不容易.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文