勾股定理綜合測(cè)試題

周祥法

一、選擇題（每小題4分，共36分）

1 校園內(nèi)有相距12 m遠(yuǎn)的兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高13 m，另一棵樹(shù)高8 m.一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛（）

A 5 m B 12 mC 13 mD 21 m

2 底邊長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為13的等腰三角形的面積為（）

A 40 B 50 C 60 D 70

3 一梯子長(zhǎng)25 m，斜立在一豎直的墻上，此時(shí)梯足距離墻底端07 m．若梯子的頂端沿墻下滑04 m，那么梯足將移動(dòng)（）

A 0.4 mB 0.9 mC 1.5 mD 0.8 m

4 將直角三角形的三邊長(zhǎng)增加相同的長(zhǎng)度后，所得的三角形是（）

A 直角三角形 B 銳角三角形

C 鈍角三角形 D 不能確定

5 三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足等式（a+b）2-c2=2ab，則此三角形一定是（）

A 銳角三角形 B 鈍角三角形

C 直角三角形 D 等腰直角三角形

6 △ABC的三邊長(zhǎng)分別為8，15，17，則最小邊上的中線長(zhǎng)為（）

A B CD 以上都不對(duì)

7 下列判斷中，正確的有（）

①有一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角的和的三角形是直角三角形；②三邊長(zhǎng)滿足a2+b2=c2的三角形是直角三角形；③若△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，則△ABC是直角三角形；④三邊長(zhǎng)分別為5m、4m、3m（m為正整數(shù)）的三角形是直角三角形.

A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè)D 4個(gè)

8 在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．把△ABC沿最長(zhǎng)邊AB翻轉(zhuǎn)成△ABC′，則CC′等于（）

ABCD

9如圖1所示，△ABC中，∠C=90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A AC2 B BD2 C BC2 D DE2

二、填空題（每小題5分，共25分）

10 圖2是由四個(gè)全等的三角形拼成的正方形，其中三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則大正方形的面積可表示為，還可以表示為

11 如圖3，有一個(gè)矩形公園ＡＢＣＤ，從景點(diǎn)A走到景點(diǎn)C，至少要走m.

12 李玲從家到學(xué)校時(shí)，先向正南方走了150 m，接著向正東方向走了200 m到達(dá)學(xué)校，則李玲家離學(xué)校的直線距離為．

13 如圖4，△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓的面積之和為.

14 △ABC中，ＢＣ=s2-t2，ＡＣ=s2+t2，當(dāng)ＡＢ=時(shí)，∠B=90°.

三、解答題（１５～１６題每題８分，１７題１１分，１８題１２分，共３９分）

15 有一個(gè)透明的圓柱形的玻璃杯如圖5所示，由內(nèi)部測(cè)得其底面半徑為3 cm，高為8 cm．今有一支12 cm長(zhǎng)的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為多少？

1６ 如圖6，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上的一點(diǎn)，且CE=BC．證明：∠EFA=90°.

1７ 如圖7，在直線上依次擺放著７個(gè)正方形．已知斜放的３個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放的４個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4．求S1+S2+S3+S4.

1８ 據(jù)我國(guó)古代戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》記載，商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得一個(gè)直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”.

（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．計(jì)算（9-1），（9+1）與（25-1），（25+1），并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出能表示7，24，25的股和弦的算式?

（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，用n（n為奇數(shù)且n≥3）的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，請(qǐng)合理猜想它們之間的兩種等量關(guān)系并對(duì)其中一種加以證明.

（3）繼續(xù)觀察：4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．運(yùn)用類似上面探索的方法，直接用含m（m為偶數(shù)，且m≥4）的代數(shù)式來(lái)表示這類勾股數(shù)的股和弦.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文