“實數(shù)”中的數(shù)學(xué)思想

奕　生

數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展離不開數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo).如果沒有數(shù)學(xué)思想,數(shù)學(xué)的知識就會像一盤零散的珠子,顯得支離破碎.數(shù)學(xué)思想雖然不像數(shù)學(xué)知識那樣具有可操作性,但它卻貫穿于初中數(shù)學(xué)的始末,活躍于各部分內(nèi)容之中.就實數(shù)內(nèi)容而言,其中所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想主要有以下幾種.

一?分類思想

把實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù),就是分類思想,也稱分類討論思想.在解決問題過程中,將問題劃分為若干個既不重復(fù)也不遺漏的小問題,然后一一解決的方法叫做分類討論法.應(yīng)用分類討論可以起到兩個作用,一是能使復(fù)雜?難于解決的問題簡單化,二是當(dāng)問題條件模棱兩可時,通過分類討論可以確定出準(zhǔn)確的答案.

例1 已知a?b都是實數(shù),其中一個是無理數(shù),一個是非負(fù)整數(shù),且 a+b=1.如果a+b存在最大值,求a?b的值.

解析:顯然,b=1- a,所以a+b=a+1- a=(1- )a+1.

因為a+b存在最大值,而1- <0,所以a應(yīng)有最小值.

如果a是無理數(shù),則a不存在最小值,從而a+b也不存在最大值.因此,a是非負(fù)整數(shù).

當(dāng)a=0時,b=1,a?b都是整數(shù),與已知條件不符.

當(dāng)a=1時,b=1- ,此時a?b符合條件.

此時,a+b的最大值為- .

二?方程思想

在確定公園的寬度?梯子的高度時,課本上采用的是列方程求解的方法,這就是方程思想的運(yùn)用.方程思想就是指構(gòu)造方程模型解決有關(guān)問題.這種思想在解應(yīng)用題時用得最多,但在幾何中的運(yùn)用也不容小看.

例2 圖1是一模具的橫截面,下面是一個正方形,上面是以正方形邊長為直徑的半圓.已知正方形的面積為10,求橫截面的總面積.

解析:要求半圓面積必須先求出半徑. 可以先設(shè)半圓半徑為x,則正方形邊長為2x.所以可以列出方程(2x)2=10.求得x= .所以半圓面積S1= x2= = .所以橫截面總面積S= +10.

三?數(shù)形結(jié)合思想

“實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)”,說明任何一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來表示.反過來,數(shù)軸上任何一個點(diǎn)都可以表示一個實數(shù).這種關(guān)系體現(xiàn)出來的就是數(shù)形結(jié)合的思想.“數(shù)”與“形”相輔相成,取長補(bǔ)短,正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說,“數(shù)缺形時少直觀,形無數(shù)時難入微”.因此,在解題中要充分利用圖形的直觀性和代數(shù)計算的精確性.

例3 已知實數(shù)a?b?c滿足a<0

解析:要化簡原式,必須先搞清楚里面四個代數(shù)式的值的符號,即a+b+c,a-b,b-c,c-a的符號.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,在數(shù)軸上標(biāo)出a?b?c的位置.首先,由a<0,b>0,得c>0.再根據(jù)它們絕對值的大小,在數(shù)軸上標(biāo)出a?b?c的位置.如圖2.

顯然,a+b+c>0,a-b<0,b-c<0,c-a>0.

所以,原式=a+b+c-a+b-b+c-c+a=a+b+c.

四?整體思想

整體思想是指將零散的幾部分作為一個整體進(jìn)行處理的一種思想方法.這種思想方法的運(yùn)用,可以使問題“化零為整”,干凈利落地解決.常見的換元法實際上就是整體思想的具體體現(xiàn)之一.

例4已知a2+b2=10,ab=4,求a-b的值.

解析:如果先分別求出a?b的值,則有相當(dāng)大的難度.分別把a(bǔ)-b?a2+b2和ab作為一個整體,由完全平方公式,得(a-b)2=a2+b2-2ab=10-8=2.所以a-b=± .

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