勾股定理的兩個變形及其應用

作者簡介 侯明輝,男,滿族,1962年10月19日出生,遼寧省岫巖縣人,大專學歷,中學高級教師,國家級骨干教師,享受國務(wù)院特殊津貼專家,中國管理科學研究院學術(shù)委員會特約研究員,鞍山市中小學聽評課專家組專家,遼寧省首批中小學教師拔尖人才,政協(xié)岫巖滿族自治縣第六屆?第七屆委員會常務(wù)委員.

1985年9月28日,侯明輝發(fā)現(xiàn)了具有重要應用價值的數(shù)學三弦定理.這個定理是:過圓上一點引該圓任意三條弦,則中間弦與最大角正弦的積等于其余兩弦和它們不相鄰角正弦積的和.這一定理的發(fā)現(xiàn),得到了國內(nèi)一些知名專家的肯定和贊譽,認為該定理是中學數(shù)學中的一個新亮點.

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,則a2+b2=c2.這是同學們所熟知的勾股定理.本文給出勾股定理的兩個變形,并舉例說明其應用,供同學們參考.

一?勾股定理的兩個變形

由勾股定理a2+b2=c2,可得到下面兩個變形.

變形1: (a+b)2-2ab=c2. 變形2: (a-b)2+2ab=c2.

通過這兩個變形,我們可以從a?b?c?a+b?a-b?ab中任意兩個出發(fā),求出其他各個量.

二?應用舉例

應用上述兩個變形求解某些直角三角形問題,十分簡便.

例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC+BC=7,S△ABC=6,求AB的長.

解:因為∠C=90°,所以S△ABC= AC·BC=6,得AC·BC=12.由變形1及AC+BC=7,得AB2=72-2×12=25,則AB=5.

例2 一個直角三角形的周長是2+ ,斜邊上的中線長是1,求這個直角三角形的面積.

解:設(shè)這個直角三角形的兩條直角邊分別為a?b,斜邊為c.由a+b+c=2+ ,而斜邊上的中線長是1,所以c=2,從而得a+b= .由變形1,得 2-2ab=22,故得ab=1.所以這個直角三角形的面積為 ab= .

例3 已知一個三角形的一邊長為2,這條邊上的中線長為1,另兩條邊長的和為1+ ,求這兩條邊長的積.

解:在△ABC中,設(shè)BC+AC=1+ ,AB=2.因為AB邊上的中線長為1,所以∠C=90°.由變形1知,1+ 2-2BC·AC=22,得BC·AC= ,即為所求.

例4 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a>b.如果S△ABC=30,c=13,求a+b與a-b的值.

解:因為∠C=90°,所以S△ABC= ab=30,得ab=60.由變形1,得(a+b)2-2×60=132,得a+b=17.由變形2,得(a-b)2+2×60=132,得(a-b)2=49,因a>b,故a-b=7.

例5 在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.如果c= ,a-b= ,求△ABC的周長.

解:因∠C=90°,故由變形2,得(a-b)2+2ab=c2,即 2+2ab= 2,所以ab=3.由變形1,得(a+b)2-2ab= 2,則(a+b)2= +6= ,所以a+b= .所以,△ABC的周長= + =6.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文