故事與思想方法

孟　坤

在許多故事中，蘊涵著深邃的數(shù)學(xué)思想方法.如果我們多讀些故事，則能啟迪我們的思維，獲得數(shù)學(xué)的靈感，提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、司馬光砸缸與逆向思維

司馬光砸缸是同學(xué)們比較熟悉的一個故事.人掉進水里，按習(xí)慣性思維，是把人從水中撈出來，而司馬光不能做到從水中撈人，于是他尋求變異，從另一個角度思考：讓水離開人！因此他果斷地用石頭砸缸放水，救了小伙伴.從此，司馬光砸缸救人的事跡被傳為佳話，流傳千古.司馬光砸缸救人，從思維的角度講，他是成功地運用了逆向思維.

在解決問題的過程中，對已知信息可以多方向、多角度地思考，不局限于原來的方法，可用逆向思維的辦法解決問題.

例1有一天劉明和李亮駕車去動物園，在路上，他們有一段對話.

劉明：“看前面的那輛大卡車，開得真快，但是我們可以趕上它.現(xiàn)估計它以每小時65千米的速度勻速前進，而我以每小時80千米的速度勻速追趕.假設(shè)我們現(xiàn)在正好在它后面1.5千米，如果我們不去超他的車的話，那么就肯定會同它相撞.李亮，請你告訴我，在相撞前一分鐘，我們與它相距多遠(yuǎn)？”

李亮：“那很簡單，在相撞前一分鐘，我們與它相距250米.”

李亮答對了嗎？他為什么答得這么快？他是怎么算的？

解析：這個問題若考慮用列方程或者更加“高級”的方法，那就搞復(fù)雜了.而且李亮也不能馬上算出答案.他是怎么算出來的？實際上他是從時間上倒過來考慮，馬上得出答案的.由于卡車以每小時65千米勻速行駛，小車以每小時80千米勻速前進，所以每小時小車比卡車多走15千米，即每分鐘小車比卡車多走250米.因此，在相撞前一分鐘，小車與卡車相距250米.

劉明提出問題時，小車落后于卡車1.5千米，其實此條件對解這個問題是多余的，不管這兩輛車之間的初始距離是多少，該題的答案只有一個！這種思考方法很值得借鑒.

二、神童量水與分類思想

有一天，一位國王在后花園里散步，忽然指著水池問身邊的大臣：“池中有幾桶水？”大臣們都被這古怪的問題問住了，誰都答不上來.這時，有位大臣奏道：“城東有個小孩，人稱神童，要不叫他來試一試？”于是國王下令宣小孩進宮.小孩聽了國王的問題，眼睛眨巴了兩下，隨口答道：“如果桶和水池一樣大，就是一桶水；如果桶比水池小一半，就是兩桶水；如果桶的大小是水池的三分之一，就是三桶水；如果……”沒等小孩說完國王便連連贊道：“答得好，答得妙！真是聰明過人.”

細(xì)細(xì)品味上述故事，小孩的確答得妙，妙在一個眾人認(rèn)為不易回答的問題，小孩能分情況考慮巧妙地答出，他這種思考問題的方法，實質(zhì)上就是分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

例2數(shù)一數(shù)圖1中有幾個三角形.

解析：我們按以下步驟分步進行：（1）先看圖形的上半部分（如圖2）.如果把4個小三角形中的每一個都看做“基本單位”，那么每2個相鄰的基本單位又可構(gòu)成三角形，這樣的三角形有3個，每3個相鄰的基本單位可構(gòu)成2個三角形，4個基本單位構(gòu)成1個大三角形.于是圖形的上半部分共有三角形：4+3+2+1=10（個）.（2）如圖3，同理圖形的下半部分也有10個三角形.（3）再看整個圖形，將中間的線段去掉，如圖4，這里有4個三角形，都以AA′為公共邊.因此，圖1中共有三角形：10+10+4=24（個）.

利用分類思想數(shù)圖形的個數(shù)，可以使復(fù)雜問題簡單化，解決問題的過程更加清晰、有條理.分類時，要做到既不能重復(fù)，也不能遺漏某些部分，當(dāng)然同一問題也可能有多種分類的方法.

三、“大敦穴”的發(fā)現(xiàn)與歸納法

有一個樵夫經(jīng)常犯頭疼病，但找不到治療的辦法.有一次，這個樵夫上山去砍柴，無意中碰破了腳的大拇指，出了一點血，但這時他卻感到頭部不疼了，當(dāng)時他也沒有在意.后來，他的頭疼病復(fù)發(fā)，在砍柴時又偶然碰破了上次碰破的地方，這時他的頭疼又好了，這次卻引起了他的注意：奇怪，為什么碰了這個部位，我的頭疼就好了呢？于是便記住了這個部位.以后，每當(dāng)他犯頭疼病的時候，就有意識地去刺破這個部位，結(jié)果頭疼馬上就好了.這個樵夫所碰的部位，就是現(xiàn)在人體穴位中的大敦穴，它在腳的大拇指的指甲的外側(cè)根部.這個樵夫發(fā)現(xiàn)大敦穴的過程，就是采用了“歸納法”的思想.

歸納法就是從特殊的具體的認(rèn)識推斷出一般的抽象的認(rèn)識的一種思維方法.它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效的思維方法.

例3用長度相等的小木棒按圖5所示的方式搭三角形，按照這樣的規(guī)律搭下去，搭建第10個圖形需要（）根小木棒.

解析：如圖6，從第1個圖形到第10個圖形，在每個圖形的內(nèi)部，由獨立的三根小木棒搭建而成的小三角形的個數(shù)分別為1，（1+2），（1+2+3），（1+2+3+4），…，（1+2+…+10），所以第10個圖形需要小木棒的根數(shù)為（1+2+…+10）×3=165.

解決本題的關(guān)鍵是通過觀察、分析、比較，依據(jù)圖形找出變化規(guī)律.