等腰三角形的證法

李　艷

三角形的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，而等腰三角形的知識(shí)更是重中之重.判定一個(gè)三角形是等腰三角形，有兩種基本方法：一是證明兩角相等，二是證明兩邊相等.

一、根據(jù)等角對(duì)等邊來解決問題

例1如圖1，AO平分∠BAC，∠1=∠2，試說明△ABC是等腰三角形.

思路分析：如圖2，由題設(shè)可知，∠1=∠2，∠3=∠4.僅有角相等，無論是證AB=AC還是證∠ABC=∠ACB都不夠，因此想到作輔助線.由于AO為∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)O向角的兩邊作垂線OE、OF，這樣得到一對(duì)直角和一組邊相等：OE=OF.

因?yàn)椤?=∠2，所以O(shè)B=OC.

所以Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）.

所以∠5=∠6.

所以∠1+∠5=∠2+∠6，即 ∠ABC=∠ACB.

所以AB=AC.△ABC為等腰三角形.

點(diǎn)撥：題中有角平分線時(shí)，常自角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線.

二、兩邊相等

證兩邊相等，可以考慮下面四種方法.

1. 通過三角形全等證線段相等

例2如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BE、CE.試說明△EBC為等腰三角形.

思路分析：根據(jù)已知條件AB=AC，AD⊥BC，易知BD=CD.由于AD⊥BC，DE為公共邊，可得△BDE≌△CDE（SAS）.所以BE=CE.△EBC為等腰三角形.

2. 利用線段垂直平分線的性質(zhì)證線段相等

如上面的例2，可以發(fā)現(xiàn)AE是線段BC的垂直平分線，由于線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，所以BE=CE.這樣就省略去了證△BDE≌△CDE的步驟.

3. 利用線段的和與差證線段相等

例3如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CF，AD⊥BC于D.試問：線段AE與AF相等嗎？

思路分析：由于AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性質(zhì)，易知有BD=CD.結(jié)合BE=CF知ED=FD，故AD是線段EF的垂直平分線，于是AE=AF.

4. 利用面積法證線段相等

例4在△ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.試說明PE=PF.

思路分析：連接AP，如圖5，根據(jù)題意知AP⊥BC，BP=CP.所以△ABP和△ACP的面積相等.而△ABP和△ACP的面積還可以分別通過把AB、AC當(dāng)作底，PE、PF當(dāng)作高來表示，即1/2AB·PE=1/2AC·PF.而AB=AC，易得PE=PF.

點(diǎn)撥：要證兩線段相等，常用三角形全等來證.如果已知條件中有等腰三角形存在，那么等腰三角形三線合一的性質(zhì)經(jīng)常會(huì)用到.審題時(shí)一定要注意中點(diǎn)、垂直等條件.有時(shí)候已知條件不夠，要適當(dāng)添加輔助線，常作的輔助線是高（垂線）、平行線等.