和全等三角形有關(guān)的和差式的證明

作者簡(jiǎn)介 鄭俊哲，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教練，碩士，1995年畢業(yè)于山東曲阜師范大學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師.所輔導(dǎo)的學(xué)生在全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中多次獲得一等獎(jiǎng)，本人也多次被評(píng)為“全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員”.制作的多媒體課件多次在山東省課件評(píng)比中獲得一等獎(jiǎng).

全等三角形是證明線段相等、角相等的一個(gè)重要工具.隨著學(xué)習(xí)的深入，出現(xiàn)了證明一些線段的和（差）等于某條線段的題目，讓學(xué)生感到困難.這時(shí)，通過(guò)恰當(dāng)添加輔助線，將線段的和差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的相等問(wèn)題，同時(shí)構(gòu)造全等三角形，成為解決問(wèn)題的主要手段.

一、與三角形、四邊形有關(guān)的線段和差問(wèn)題

例1如圖1，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB.

求證：BC=AD+AC.

思路1：（截長(zhǎng)）在BC上截取CE=CA，連接DE.如圖2.

易證△ACD≌△ECD（SAS）.

∴∠3=∠A=2∠B.

∵∠3=∠B+∠4，

∴∠B=∠4.

∴BE=DE=AD.

∴BC=BE+EC=AD+AC.

思路2：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)CA到E，使得EC=BC，連接DE.如圖3.

由條件推出△CED≌△CBD（SAS）.

與思路1相仿，由∠E=∠B，∠BAC=2∠B，得∠4=∠E.AE=AD.下略.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于線段之間的和差關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)”、“補(bǔ)短”等添加輔助線方法，構(gòu)造全等三角形，從而轉(zhuǎn)化為兩線段間的相等關(guān)系.

例2如圖4，△ABC中，∠B=2∠C，AD垂直BC于D.

求證：CD=AB+BD.

思路：如圖5，在DC上截取DE=DB，連接AE.

易知△ABD≌△AED（SAS）.

∴AB=AE，∠2=∠B.

又∠B=2∠C，得∠1=∠C，AE=CE.

∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+DE=AB+BD.

點(diǎn)評(píng)：本解法是截長(zhǎng)的方法.也可用補(bǔ)短的方法去證：延長(zhǎng)DB到E，使BE=BA，連接AE.讀者不妨自己試試.

例3如圖6，等邊△ABC中，延長(zhǎng)BA到D，延長(zhǎng)BC到E.若DC=DE，求證：AD=AC+CE.

思路：如圖7，延長(zhǎng)BC到F，使EF=BC，連接DF.因EF=BC=AC，故只要證CF=AD即可.

易證△DCB≌△DEF（SAS）.

∠F=∠B=60°.

故△DBF是等邊三角形.

∴BD=BF.

而BA=BC，故AD=CF=CE+EF=CE+AC.證畢.

點(diǎn)評(píng)：本題還可以作以下輔助線證明：作EM∥AC交BD于M.證明△ACD≌△MDE（AAS）.

例4如圖8，AE∥BC，AD、BD分別是∠EAB、∠CBA的平分線.過(guò)點(diǎn)D的直線EC交AE于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)C.求證：AE+BC=AB.

思路1：（截長(zhǎng)）在AB上截取AF，使AF=AE，連接DF.如圖9.

易證△ADE≌△ADF（SAS）.

∴∠E=∠AFD.

∵AE∥BC，

∴∠E+∠C=180°.

又∵∠AFD+∠BFD=180°，

∴∠C=∠BFD.

∴△BDF≌△BDC（AAS）.

∴BF=BC.AE+BC=AF+BF=AB.

思路2：（補(bǔ)短）如圖10，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于F.要證AE+BC=AB，只需要證明AB=BF和AE=CF.

由題設(shè)∠1=∠F=∠2，△ABF是等腰三角形.

∴AB=BF.

又BD是∠FBA的平分線，由等腰三角形“三線合一”知AD=FD.

∴△ADE≌△FDC（ASA）.AE=CF.

∴AE+BC=CF+BC=BF=AB.

二、運(yùn)動(dòng)型線段和差問(wèn)題

例5如圖11（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA.分別過(guò)點(diǎn)B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分別為E、F.

（1）請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上（如圖11（2）），那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上（如圖11（3）），那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)解：（1）結(jié)論是：BE-DF=EF.

注意同角的余角相等，易證△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AF-AE=BE-DF.

（2）結(jié)論是：DF-BE=EF.

與（1）類似，易證△ABE≌△DAF（AAS）.

所以EF=AE-AF=DF-BE.

（3）結(jié)論是：DF+BE=EF.理由略，請(qǐng)讀者自行探究.

點(diǎn)評(píng)：本題是典型的運(yùn)動(dòng)型線段和差問(wèn)題.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖中某些線段保持相似或相同的數(shù)量關(guān)系.本題的證明中應(yīng)用三角形全等的性質(zhì)，“化解”了線段間的和差關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，這類題目的證法基本相同或類似.但在個(gè)別情況下，線段間不保持原有的關(guān)系.

練習(xí)

1. 如圖12，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠1=∠2.求證：AC+CD=BC.

提示：在CB上截取CE=CD，連接DE.證明△ABD≌△EBD（AAS）.

2. 如圖13，△ABC中，AD為∠BAC的平分線.M為BC的中點(diǎn)，ME∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC于F.求證：CF=BE，AB+AC=2BE.

提示：延長(zhǎng)EM到G，MG=FM，連接BG，證△BMG≌△CMF.

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14（1）的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE.

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14（2）的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE.

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14（3）的位置時(shí)，試問(wèn)：線段DE，AD，BE具有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)加以證明.