聚焦等腰三角形中的探索型問題

張　雷

近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，與等腰三角形有關(guān)的探索型問題已成為熱點(diǎn)之一.現(xiàn)舉例予以說明.

一、條件補(bǔ)充型

例1（濟(jì)南）如圖1，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一個(gè)條件是__.

簡析：從確定△ADE是等腰三角形著眼，應(yīng)添加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE等條件.

二、結(jié)論判斷型

例2（南通）如圖2所示，△ABC中，∠ACB=90°，△ACE、△CBD都是等邊三角形.試判斷EC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

簡析：因△ACE、△CBD都是等邊三角形，故∠ECA=∠DCB=60°.又因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠ECB=∠ECD=150°.連接EB、ED，如圖3.又EC=EC，CB=CD，則△ECB≌△ECD，所以EB=ED，∠DEC=∠BEC.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)知EC⊥BD.

三、辨別改錯(cuò)型

例3（江西）如圖4，D是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn).EB=EC，∠1=∠2.求證：AD⊥BC．

請你先閱讀下面的證明過程．

證明：在△AEB和△AEC中，EB=EC，AE=AE，∠1=∠2，

∴△AEB≌△AEC.（第一步）

∴AB=AC， ∠BAE=∠CAE.（第二步）

∴AD⊥BC.（等腰三角形的“三線合一”）

上面的證明過程是否正確？如果正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；如果不正確，請指出錯(cuò)在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程．

簡析：第一步錯(cuò)誤．在△AEB和△AEC中，有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，并不能判定它們?nèi)龋C明思路如下：由EB=EC，得∠EBC=∠ECB.再由∠1=∠2，可得∠ABC=∠ACB，故AB=AC.下同上面證法．

四、條件組合型

例4（揚(yáng)州） 如圖5，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O. 給出下列三個(gè)條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.

（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？用序號(hào)寫出所有情形.

（2）請選擇（1）題中的某一種情形，證明△ABC是等腰三角形.

簡析：（1）有兩種情形：①、③，②、③.

（2）以①、③為例.

∵∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，BE=CD，

∴△EBO≌△DCO（AAS）.

∴BO=CO.∠OBC=∠OCB.

由條件∠EBO=∠DCO，

∴∠ABC=∠ACB.△ABC為等腰三角形.

五、實(shí)驗(yàn)操作型

例5（天門）在平面內(nèi)，分別用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通過嘗試，列表表示如下.請閱讀下表后再回答問題.

問：（1）4根火柴能搭成三角形嗎？

（2）8根、12根火柴能搭成幾種不同形狀的三角形？請?jiān)谙卤碇挟嫵鏊鼈兊氖疽鈭D.

簡析：（1）因?yàn)?根火柴只能搭成長為1，1，2的三條線段，而長為1，1，2的三條線段不能構(gòu)成三角形（因1+1=2），所以4根火柴不能搭成三角形.

（2）在搭的同時(shí)要注意三條線段長必須滿足三角形三邊關(guān)系定理.8根火柴可以搭成一個(gè)三邊長分別為3，3，2的等腰三角形；12根火柴可以搭成一個(gè)三邊長分別為5，5，2的等腰三角形，也可以搭成一個(gè)三邊長分別為4，4，4的等邊三角形，還可以搭成一個(gè)三邊長分別為3，4，5的直角三角形.示意圖略.

說明：這類搭三角形的題可運(yùn)用列舉法解.先畫三個(gè)方框.在最左邊的第一個(gè)方框中依次填上1，2，3，…，在第二個(gè)方框中再填入不小于第一個(gè)方框的數(shù)，然后在第三個(gè)方框中填入不小于第二個(gè)方框的數(shù).這三個(gè)數(shù)如果滿足前兩個(gè)之和大于第三個(gè)，且這三個(gè)數(shù)之和為（火柴）總數(shù)，那么就可以搭成三角形，否則不能.

六 圖形分割型

例6（無錫）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°.試畫一條直線，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形．請你選用下面給出的備用圖（圖6），把不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù).

簡析：如圖7，有2種不同的分割方法.

說明：此題的解決也提示我們: 遇到與等腰三角形有關(guān)的問題時(shí)，一定要避免多解、漏解.

七 猜想探究型

例7（南充）如圖8，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CA上任意一點(diǎn)，且BM=CN.直線BN與AM相交于Q點(diǎn)．

（1）請問：∠BQM等于多少度？

（2）如果M、N兩點(diǎn)分別在線段BC、CA的延長線上，其他條件不變，如圖9所示，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由．

簡析：隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，會(huì)出現(xiàn)不少規(guī)律探究題.這些題目要求同學(xué)們在運(yùn)動(dòng)變化中探求圖形某些不變的性質(zhì)或變化的規(guī)律．（1）題通過猜想、測量或證明等方法不難發(fā)現(xiàn)△ABM≌△BCN，從而∠BMQ=∠BNC，∠BQM=∠AQN=∠ABQ+∠BAQ=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.而且這一結(jié)論在圖形發(fā)生變化后仍然成立．（2）題的證明思路如下：先證△ACM≌△BAN，得到∠M=∠N，所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°.