高中數(shù)學(xué)教學(xué)中錯(cuò)解的教育功能

譚紹鋒

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中出現(xiàn)錯(cuò)解是不可避免的，學(xué)生的錯(cuò)解暴露了學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本的思想方法等方面的問題．一部分學(xué)生的錯(cuò)解可能代表了一類普遍的錯(cuò)誤傾向，甚至在一些錯(cuò)解中還隱含著寶貴的教學(xué)資源.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須充分重視與正確分析學(xué)生的錯(cuò)解，把錯(cuò)解這一教學(xué)題材進(jìn)行深度挖掘，充分利用好錯(cuò)解的教育功能.以下是筆者就如何利用“錯(cuò)解”為載體對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的體會(huì).

一、糾正錯(cuò)解能使學(xué)生加深對知識(shí)的理解

在高中數(shù)學(xué)新課程（人教A版）新增內(nèi)容“極限與導(dǎo)數(shù)”一章中，切線概念的學(xué)習(xí)就是一個(gè)十分典型的例子.

例1求曲線S：y=3x-x３通過點(diǎn)A（2，－2）的切線方程.

學(xué)生的錯(cuò)解:因?yàn)閥′=3-3x２，所以y′｜=-9，所以所求切線方程為y+2=-9（x-2），即y=-9x+16.

正確的解法:y′=3-3x２，設(shè)切點(diǎn)P（x０，y０），則P處的切線方程為l:y-y０=（3-3x2０ ）（x-x０）.由點(diǎn)A在l，有l(wèi):-2-y０=（3-3x2０ ）（2-x０）.又點(diǎn)P在曲線S上，故y０=3x０-x３０ ，代入上式得-2-3x０+x３０ =（3-3x2０ ）（2-x０）.整理得x３０ -3x2０+4=0，即（x０-2）２·（x０+1）=0， 所以x０=2或x０=-1.①當(dāng)x０=2時(shí)，P為（2,-2），切線方程為y=-9x+16. ②當(dāng)x０=-1時(shí)，P為（-1,-2），切線方程為y=-2.

分析:曲線與直線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，求曲線過某一點(diǎn)的切線方程，這一點(diǎn)未必一定是切點(diǎn)，有可能以另一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線剛好過該點(diǎn).

在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中明白過來比反復(fù)灌輸正確的理論效果要好，正所謂“恍然大悟”.心理學(xué)實(shí)驗(yàn)告訴我們：“差別大的東西、異常的信號(hào)，往往會(huì)首先引起人的注意；同樣的東西，變換一個(gè)角度或提法，常常會(huì)給人以新鮮的感覺.” 這樣做不僅能及時(shí)總結(jié)思維方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生的鑒賞和評估能力，加深對知識(shí)的理解.

二、利用錯(cuò)解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

學(xué)生思維的發(fā)散力強(qiáng)，在很多問題的探索中，會(huì)產(chǎn)生許多奇思妙想，但有時(shí)由于理解的深度不夠，考慮欠周密等都可能產(chǎn)生錯(cuò)解，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)解的原因并尋找突破口，而不能簡單地全盤否定他們的探究精神和創(chuàng)新設(shè)想.事實(shí)上如果經(jīng)過教師啟發(fā)，再探究吸取一些合理因素，往往就能完善解題，也從中可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

例2已知函數(shù)y=（x≥4），請?zhí)接懬筮@個(gè)函數(shù)最值的各種方法.

生：（有部分學(xué)生舉手回答）解法一：（判別式法）

∵x≥4，x-3≠0， ∴ 把原式轉(zhuǎn)化為方程2x２-yx+3y=0.利用判別式法得Δ=y２-24y≥0，則y≥24或y≤0.

∵x≥4， ∴ y>0, ∴ y≥24，即ymin=24，但無最大值.

師：此解法對嗎？

生：（有部分學(xué)生回答）不正確，原因是Δ≥0不一定能保證根x≥4.

師：如何改正？

生：設(shè)f（x）=2x２-yx+3y，利用實(shí)根分布法得Δ=y２-24ｙ≥0，x１+x２=-≥8（因?yàn)閤≥4），f（4）=32-4y+3y≥0．

解得，24≤y≤32.

師：這個(gè)改正對嗎？實(shí)踐檢驗(yàn)，取y=40代入，得x２-20x+60=0，解得x=10+2>4或x=10-2（舍去），可見存在x=10+2，使y=40>32，可見上述解法還存在問題，怎樣修正？

生：上述不等式組僅僅給出在[4，+∞）上有兩個(gè)實(shí)根的情形，還應(yīng)補(bǔ)上在[4,+∞）上有一實(shí)根的情形:Δ=y２-24≥0，f（4）=32-4y+3y≤0．解得y≥32.

綜上可得y≥24. ∴ ymin=24，但無最大值.

師：此法叫做實(shí)根分布法，有時(shí)簡稱判別式法.判別式法用到的是必要條件，并不充要，因此應(yīng)慎用.還有什么解法嗎？

學(xué)生在練習(xí)本上解答，最后學(xué)生還想出了利用基本不等式法、換元法、配方法、 導(dǎo)數(shù)法等.具體方法略.

三、錯(cuò)解有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度

由于知識(shí)水平和心理特征等原因，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)象會(huì)時(shí)常出現(xiàn)，多數(shù)同學(xué)不會(huì)對自己的思

維過程進(jìn)行分析和整理，更不會(huì)進(jìn)行評判、提出質(zhì)疑，因此在教學(xué)中，通過錯(cuò)解的分析，一方面可以突出數(shù)學(xué)解題中的科學(xué)性和完整性，使學(xué)生全面完整地掌握解題方法，另一方面可以及時(shí)提醒學(xué)生進(jìn)行解后的反思，這有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度.

例3已知?琢、?茁是兩個(gè)不重合的平面： ①若平面?琢⊥平面?茁，平面?茁⊥平面?酌，則平面?琢∥平面?茁；②若平面?琢內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)到平面?茁的距離相等，則平面?琢∥平面?茁；③a、b分別是平面內(nèi)的兩條直線，且a∥?茁，b∥?琢，則平面∥平面. 以上正確命題的個(gè)數(shù)為（）．

A．０ B．1 C．2D．3

學(xué)生的錯(cuò)解：三個(gè)命題都正確，選D．

分析：產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對問題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關(guān)系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統(tǒng)蓋特殊．

正解：因?yàn)槿齻€(gè)命題都不正確，所以選A．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文