因式分解拾趣

趙國瑞

一、臺上三分鐘，臺下三年功

在一次國際數(shù)學(xué)報(bào)告會上，大家要求美國著名數(shù)學(xué)家科爾作報(bào)告．科爾也不謙讓，闊步走上講臺．坐在臺下的數(shù)學(xué)家等待著聽他的宏篇偉論．

不料，科爾一言不發(fā)，他對大家點(diǎn)頭示意后，便轉(zhuǎn)過身去，用粉筆在黑板上寫了兩個(gè)算式．第一個(gè)式子是267－1＝147 573 952 589 676 412 927，第二個(gè)式子是193707721×761838257287．

接著，他把后一個(gè)式子的兩個(gè)數(shù)相乘，使臺下的數(shù)學(xué)家們看到它們的乘積就是前一個(gè)式子的得數(shù)．于是，他在這兩個(gè)式子之間劃上了等號，使之變成：267－1＝147573952589676412927＝193707721×761838257287．

隨后，他放下粉筆，又向大家示意，之后便離開了講臺．整個(gè)過程僅花費(fèi)了三分鐘，他始終沒有說半句話．

可是，當(dāng)他離開講臺后，本來鴉雀無聲的會場頓時(shí)爆發(fā)出經(jīng)久不息的掌聲．為什么呢？因?yàn)榭茽柕倪@兩個(gè)算式已經(jīng)向全世界宣布，他已經(jīng)攻克了一道數(shù)學(xué)難題：證明267－1不是質(zhì)數(shù)．

后來有人問科爾：“您為證明這個(gè)難題，總共花去多長時(shí)間？”他回答說：“我花去了三年之內(nèi)的全部星期天！”

成功僅僅幾分鐘，而獲得成功所進(jìn)行的努力，卻是漫長而艱苦的．只有堅(jiān)持不懈，努力拼搏，才有獲得成功的希望！

二、歐拉巧用分解因式

大數(shù)學(xué)家歐拉出生于瑞士的巴塞爾．因父親帶他到數(shù)學(xué)家貝努利家里去，他的數(shù)學(xué)才能才得以被貝努利發(fā)現(xiàn)．他13歲就上了大學(xué)，16歲讀完碩士，并由丹尼爾保薦到俄國圣彼得堡科學(xué)院任客座教授．他在那里度過了14個(gè)寒暑．

1729年，22歲的歐拉收到德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫寫來的一封信，信中有這么一段：

你知道費(fèi)馬在一本書中提出的一個(gè)質(zhì)數(shù)表達(dá)式嗎？就是“一切形如22n－1＋1（n是自然數(shù)，n≥1）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)”．費(fèi)馬本人說這是證明不了的．據(jù)我所知，迄今還沒有人能證明它．雖然如此，人們還是相信這個(gè)結(jié)論……

費(fèi)馬（17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）曾進(jìn)行如下驗(yàn)算：

當(dāng)n＝1時(shí)，22n－1＋1＝220＋1＝2＋1＝3；

當(dāng)n＝2時(shí)，22n－1＋1＝22＋1＝5；

當(dāng)n＝3時(shí)，22n－1＋1＝222＋1＝24＋1＝17；

當(dāng)n＝4時(shí)，22n－1＋1＝223＋1＝28＋1＝257；

當(dāng)n＝5時(shí)，22n－1＋1＝224＋1＝216＋1＝65537．

其結(jié)果都是質(zhì)數(shù)．但是n取任意自然數(shù)時(shí)情況又會怎樣呢？歐拉對這個(gè)問題深思起來：逐一驗(yàn)算，不可能．要推翻這個(gè)質(zhì)數(shù)公式，又從何處著手呢？

歐拉對n＝6時(shí)的情況進(jìn)行了研究：

22n－1＋1＝225＋1＝232＋1＝（2×27）4＋1＝24×1284＋1

＝（1＋15）×1284＋1

＝［1＋5（128－125）］×1284＋1

＝（1＋5×128）×1284＋1－54×1284

＝（1＋5×128）×1284＋（1＋52×1282）（1＋5×128）（1－5×128）

＝（1＋5×128）［1284＋（1＋52×1282）（1－5×128）］

＝641×6700417．

這里，歐拉一改煩瑣的傳統(tǒng)計(jì)算方法，用了很不起眼的分解因式法給出了一個(gè)驚人答案——形如22n－1＋1（n是自然數(shù)，n≥1）的數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想．此后，人們把一切形如22n－1＋1（n是自然數(shù)，n≥1）的數(shù)稱為“費(fèi)馬數(shù)”．?dāng)?shù)學(xué)家們借助于歐拉的方法又發(fā)現(xiàn)了45個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)．但費(fèi)馬數(shù)中究竟有幾個(gè)質(zhì)數(shù)、幾個(gè)合數(shù)，至今仍是一個(gè)誘人的謎．

歐拉巧用分解因式推翻費(fèi)馬猜想這一數(shù)學(xué)史上的佳話告訴我們：數(shù)學(xué)上許多難題的解決，應(yīng)用的都是一些很基礎(chǔ)的知識．因此，我們每個(gè)同學(xué)都要重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，基本技能、技巧的掌握，基本思想方法的運(yùn)用．

親愛的同學(xué)們，讀完了上面的兩個(gè)故事，你有什么啟發(fā)嗎？數(shù)學(xué)家歐拉巧用分解因式的方法證明了225＋1不是質(zhì)數(shù)，而數(shù)學(xué)家科爾幾乎是用實(shí)驗(yàn)的方法證明了267－1不是質(zhì)數(shù)．你能用歐拉的方法證明267－1不是質(zhì)數(shù)嗎？大膽試試吧，相信自己！

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文