談因式分解的實(shí)際應(yīng)用

周奕生

因式分解不僅在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的作用，而且在實(shí)際生活中也有同樣重要的應(yīng)用，請(qǐng)看：

例1小明初中畢業(yè)后到一家農(nóng)場(chǎng)當(dāng)倉(cāng)管員，負(fù)責(zé)每天進(jìn)出倉(cāng)糧食的記錄和統(tǒng)計(jì)．一天，共進(jìn)了15卡車的糧食，每車裝有315袋．之后來(lái)了45家客戶，每家拉走95袋．問(wèn)：這一天進(jìn)出倉(cāng)糧食相抵后實(shí)際上進(jìn)倉(cāng)了多少袋糧食？

分析：所求的結(jié)果實(shí)際上是算式15×315－45×95的值．在沒(méi)有計(jì)算器的情況下，如何簡(jiǎn)便計(jì)算呢？同學(xué)們或許已想到了運(yùn)用因式分解的提取公因式法．不錯(cuò)！提取公因數(shù)15，得：

原式＝15×（315－3×95）．

再提取5，得：

原式＝15×5（63－3×19）．

再提取3，得：

原式＝15×5×3（21－19）＝15×5×3×2＝450．

解：略．

例2小亮家的責(zé)任田是一塊邊長(zhǎng)為146 m的正方形，去年在這塊田中間挖了一個(gè)邊長(zhǎng)為54 m的正方形魚(yú)塘，問(wèn)：小亮家的責(zé)任田還有多少平方米？

分析：顯然，余下的責(zé)任田面積為（1462－542） m2．在沒(méi)有計(jì)算器的情況下如何簡(jiǎn)便計(jì)算呢？還是運(yùn)用因式分解，運(yùn)用平方差公式，得：

原式＝（146＋54）（146－54）＝200×92＝18 400．

解：略．

例3小華家有一塊邊長(zhǎng)為7．6 m的正方形花圃．今年又?jǐn)U建了一個(gè)“L”型花圃，與原來(lái)的正方形花圃組成一個(gè)較大的正方形（如右圖）．已知“L”型中那塊小正方形的邊長(zhǎng)是2．4 m．小華說(shuō)擴(kuò)建后花圃的總面積是（7．62＋2×7．6×2．4＋2．42） m2．你認(rèn)為小華說(shuō)的正確嗎？如果正確，請(qǐng)你幫她算一算這花圃究竟有多少平方米．

分析：小華說(shuō)的沒(méi)錯(cuò)，她是把擴(kuò)建后的花圃劃分為四塊來(lái)計(jì)算的，其中兩塊正方形的面積分別是7．62 m2和2．42 m2，另外兩塊是相同的矩形，面積都是7．6×2．4 m2，因此，擴(kuò)建后花圃的總面積為（7．62＋2×7．6×2．4＋2．42） m2．如何簡(jiǎn)便計(jì)算這個(gè)算式的值呢？還是因式分解．由完全平方公式，得：

原式＝（7．6＋2．4）2＝102＝100．

解：略．

例4小新的爸爸是公司的會(huì)計(jì)．一天，小新發(fā)現(xiàn)他爸爸正在制作一張職工花名冊(cè)，他突然想知道公司里究竟有多少人．爸爸告訴他：這張表格有多少格就有多少人．小新仔細(xì)算了一下：這張表格的行數(shù)與列數(shù)相同，都是96，因此，共有962格，也就是說(shuō)公司共有962人．可是如何簡(jiǎn)便計(jì)算呢？行數(shù)與列數(shù)要是恰好是100那該多好??！你能幫小新一把嗎？

解：962＝962－16＋16

＝（962－42）＋16

＝（96＋4）（96－4）＋16

＝100×92＋16

＝9 216．

例5一群孩子在操場(chǎng)上玩游戲．小新數(shù)了一下這些孩子的人數(shù)，然后告訴小華說(shuō)：這群孩子如果加上8人，可排成一個(gè)正方形方陣；如果減少8人，也可以排成正方形方陣.問(wèn)：這群孩子共有多少人？

解：設(shè)這群孩子有a人，加上8人后可排成x行x列，減少8人后可排成y行y列，則x2＝a＋8，

y2＝a－8．

兩式相減，得x2－y2＝16．

左邊因式分解，得

（x＋y）（x－y）＝16．

顯然，x＋y＞x－y，且x、y都是正整數(shù)，而x＋y與x－y的奇偶性相同，所以x＋y＝8，x－y＝2．

解得x＝5，y＝3．

從而a＝17.

因此，這群孩子有17人.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文