分解因式新題型賞析

高俊元

分解因式是每年中考必考的內(nèi)容之一．近年來，中考中出現(xiàn)了一些有關(guān)分解因式的新題型．這類題不僅可以考查學生的發(fā)散思維能力，而且可以開闊學生的視野．現(xiàn)舉例說明．

一、辨析型

例1 （2007年·福建）下列分解因式正確的是（）.

A． 4－x2＋3x＝（2－x）（2＋x）＋3x B． －x2＋3x＋4＝－（x＋4）（x－1）

C． 1－4x＋x2＝（1－2x）2 D． x2y－xy＋x3y＝x（xy－y＋x2y）

解析：A中結(jié)果不是積的形式，C不能運用完全平方公式，D分解不徹底，還可以提公因式，所以選B．

評注：分解因式結(jié)果的幾個整式之間必須都是積的形式．在分解因式后，如果其中有些因式是兩次或兩次以上的多項式時，應(yīng)當考慮它們是否還能繼續(xù)分解，如能再分解，就應(yīng)當分解到不能再分解為止．

二、自編開放型

例2 （2007年·山東）請你寫一個能先提公因式、再運用公式來分解因式的三項式，并寫出分解因式的結(jié)果． ．

解析：本題分三步：第一步，寫一個能運用完全平方公式分解因式的多項式，例如a2＋2ab＋b2；第二步，考慮到能提公因式，再乘以一個常數(shù)或字母即可，例如2（a2＋2ab＋b2）；第三步，展開，即2a2＋4ab＋2b2．

評注：這類題結(jié)論不唯一，只需寫出符合要求的結(jié)論即可．常見錯誤有三種：1．只考慮一個方面，例如只能用公式分解，而不能提公因式；2．寫出的是分解后的式子，而沒有展開，例如2（a2＋2ab＋b2）；3．寫出的是二項式而不是三項式.

三、組合開放型

例3（2007年·溫州）給出三個多項式：x2＋x－1，x2＋3x＋1，x2－x．

請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結(jié)果分解因式.

解析：這是一道組合開放型題目．三個多項式兩兩相加，有三種情況：

（1）

x2＋x－1＋

x2＋3x＋1＝x2＋4x＝x（x＋4）；

（2）

x2＋x－1＋

x2－x＝ x2－1＝（x＋1）（x－1）；

（3）

x2＋3x＋1＋

x2－x＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2．

評注： “不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，組合開放題因能充分體現(xiàn)這一新課程理念而成為最近兩年中考命題的一道亮麗的風景線．這類問題突破了常規(guī)的題型模式，要求學生從已知的條件中選取合適的式子進行運算．這類問題看似簡單，但在實際考試時得分率并不是很高，其原因在于不少同學忽視了題目的具體要求，答非所問．

四、閱讀探究型

例4（2007年·淄博）根據(jù)以下10個乘積，回答問題.

11×29；12×28； 13×27； 14×26； 15×25；

16×24；17×23； 18×22； 19×21； 20×20.

（1）試將以上各乘積分別寫成“□2-○2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；

（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；

（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論.（不要求證明）

解析：（1）把一個乘積寫成平方差的形式，難度不大，有兩種方法.一是直接根據(jù)乘積的特點觀察得出答案；二是利用因式分解，通過解方程組求出答案.

11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；

15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；

19×21=202-12；20×20=202-02.

例如，11×29的思考過程有如下兩種.

方法1：11×29=（20-9）（20+9）=202-92.

方法2：假設(shè)11×29=□2-○2，因為□2-○2=（□+○）（□-○），所以，可以令□-○=11，□+○=29.解得□=20，○=9.故11×29=202-92.

（2）直接計算兩數(shù)相乘的結(jié)果，或者根據(jù)所寫成的平方差的形式，都能得出這10個乘積的大小關(guān)系.

這10個乘積按照從小到大的順序排列是：

11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.

（3）答案不唯一，只要正確就行.根據(jù)評分標準，按照所得結(jié)論的難易程度及普遍性的不同，所得分值相應(yīng)也不同，因此解答時，要寫出具有普遍意義的結(jié)論.

① 若a+b=40，a、b是自然數(shù)，則ab≤202=400.

② 若a+b=40，則ab≤202=400.

③ 若a+b=m，a、b是自然數(shù)，則ab≤

2.

④ 若a+b=m，則ab≤

2.

⑤ 若a、b的和為定值，則ab的最大值為

2.

⑥ 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且| a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥| an-bn|，則 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn.

⑦ 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且| a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥| an-bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn.

⑧ 若a+b=m，a和b的差的絕對值越大，則它們的積就越小.

評注：第（3）問的評分標準是“給出結(jié)論①、②之一的得1分；給出結(jié)論③、④、⑤之一的得2分；給出結(jié)論⑥、⑦、⑧之一的得3分”.這一點值得同學們注意.

實質(zhì)上，第（3）問的結(jié)論①~⑧概括起來只有兩個重要的結(jié)論：④和⑧.這兩個結(jié)論的得出都用到一個重要公式——完全平方公式.下面就是得出④和⑧的過程.

結(jié)論④：因為（a-b）2≥0，所以a2-2ab+b2≥0，a2+2ab+b2-4ab≥0，所以（a+b）2≥4ab，所以ab≤，所以ab≤

2.因此，若a+b=m，則ab≤

2.其他的結(jié)論①，②，③，⑤都是④的特殊形式或變形.

結(jié)論⑧：因為（a+b）2-（a-b）2=a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2）=4ab，所以ab=.若a+b=m，則ab=.因此，a、b差的絕對值越大，則它們的積就越小.其他的結(jié)論⑥，⑦都是⑧的特殊形式.

閱讀探究型問題是近幾年中考出現(xiàn)的新題型．學生通過閱讀，學習新的知識，感悟數(shù)學思想和方法，形成科學的思維方式與思維策略．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文