《一元一次不等式和一元一次不等式組》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

喻俊鵬

一、重點(diǎn)難點(diǎn)

1. 重點(diǎn)：不等式的三條性質(zhì)，解和解集的意義，解集在數(shù)軸上的表示方法，一元一次不等式（組）的解法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2. 難點(diǎn)：準(zhǔn)確運(yùn)用性質(zhì)解題，確定不同類型的不等式組的解集并在數(shù)軸上加以表示，在解決實(shí)際問題時(shí)合理選擇函數(shù)、方程、不等式這三種數(shù)學(xué)模型.

二、知識(shí)精析

1. 不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．例如：若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc

或＜

．因此在解不等式時(shí)，要注意“系數(shù)化為1”這一步.

2. 在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，當(dāng)解集中不含等號(hào)時(shí)，端點(diǎn)為空心圓圈；當(dāng)解集中含有等號(hào)時(shí)，端點(diǎn)為實(shí)心圓點(diǎn).

3. 由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況，見下表．

4. 注意感受兩種數(shù)學(xué)思想，一是類比思想，二是數(shù)形結(jié)合思想．將不等式與方程進(jìn)行比較學(xué)習(xí)就體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想，解集在數(shù)軸上的表示以及一元一次不等式與一次函數(shù)的聯(lián)系就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

三、解題技巧

例1 若a＜b＜0，則有（）.

A. ＜1 B. a2＜b2 C. a＜a-b D. ＜

解析：由不等式性質(zhì)及條件，知＞1，＜，排除A、D．又因a2＞ab，ab＞b2，得a2＞b2，排除B．故應(yīng)選C.

評(píng)注：上面用到的是排除法，本題也可用特殊值法求解．例如，取a=-2，b=-1，滿足a＜b＜0,則＞1，（-2）2＞（-1）2，-2＜-2-（-1），＞．可知只有C成立.

例2 若關(guān)于x的不等式組

＞

+1， ①

x+m＜0 ②

的解集為x＜2，則m的取值范圍是.

解析：易知不等式①的解集為x＜2，不等式②的解集為x＜-m．而由題設(shè)條件知原不等式組的解集為x＜2，所以，由解集的意義有-m≥2，即m≤-2.

評(píng)注：解題時(shí)要抓住不等式組解集的意義（即各個(gè)不等式解集的公共部分）來求出m的取值范圍.

例3 某公司推銷一種產(chǎn)品．設(shè)x是推銷產(chǎn)品的數(shù)量，y是推銷費(fèi)，圖1中表示了公司每個(gè)月付給推銷員推銷費(fèi)的兩種方案y1、y2 ．根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）分別求y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系式．

（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費(fèi)的．

（3）如果你是推銷員，應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案？

解析：（1）設(shè)y1與x的函數(shù)關(guān)系式為y1=k1x，由圖象得600=30k1，即k1=20．于是y1=20x（x≥0）.

設(shè)y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=k2x+b，由圖象得600=30k2+b，

300=b，解得k2=10，

b=300.所以y2=10x+300（x≥0）.

（2）方案y1是不推銷產(chǎn)品就沒有推銷費(fèi)，每推銷1件產(chǎn)品的推銷費(fèi)為20元；方案y2是保底工資為300元，每推銷1件產(chǎn)品再提成10元.

（3）令y1＞y2，即20x＞10x+300，解得x＞30.

若業(yè)務(wù)能力強(qiáng)，平均每月能保證推銷的產(chǎn)品多于30件時(shí)，就選擇付費(fèi)方案y1；否則，選擇付費(fèi)方案y2.

評(píng)注：本題是用一元一次不等式與一次函數(shù)解決實(shí)際問題的綜合題．由數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)圖中信息列出函數(shù)關(guān)系式，再利用不等關(guān)系選擇最優(yōu)方案.

四、易錯(cuò)點(diǎn)直擊

1． 因漏乘項(xiàng)而出錯(cuò).

例4 解不等式：-2＞.

錯(cuò)解：去分母，得10x+2-2＞3x-15．移項(xiàng)、合并，得7x＞-15．系數(shù)化為1，得x＞-.

剖析：去分母時(shí)，不等式中的每一項(xiàng)都要乘以最簡(jiǎn)公分母．上面的錯(cuò)誤就出現(xiàn)在-2這一項(xiàng)“漏乘”了最簡(jiǎn)公分母12.

正解：去分母，得10x+2-24＞3x-15．移項(xiàng)、合并，得7x＞7．系數(shù)化為1，得x＞1.

2． 忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用而出錯(cuò).

例5 解不等式：-≥.

錯(cuò)解：去分母，得4×2x-1-6×3x-1≥5，即8x-1-18x-1≥5．移項(xiàng)、合并，得-10x≥7．系數(shù)化為1，得x≤-.

剖析：分?jǐn)?shù)線除了可以表示除號(hào)和比號(hào)外，還起著括號(hào)的作用．上面的錯(cuò)誤就出在去分母時(shí)，沒有將分子2x-1和3x-1加上括號(hào).

正解：去分母，得4（2x-1）-6（3x-1）≥5.去括號(hào)，得8x-4-18x+6≥5.移項(xiàng)、合并，系數(shù)化為1，得x≤-.

3． 移項(xiàng)或系數(shù)化為1時(shí)不變號(hào)而出錯(cuò).

例6 解不等式：-3≤＜7.

錯(cuò)解：去分母，得-9≤1-2x＜21.移項(xiàng)，得-10≤-2x＜20.把系數(shù)化為1，得5≤x＜-10.

剖析：在系數(shù)化為1時(shí)，忘記了不等號(hào)方向的改變.

正解：去分母，得-9≤1-2x＜21.移項(xiàng)，得-10≤-2x＜20.把系數(shù)化為1，得-10＜x≤5.

4． 對(duì)“≥（或≤）”中“=”取舍不當(dāng)而出錯(cuò).

例7 如果關(guān)于x的不等式3x-m≤0的正整數(shù)解是1，2，那么m的取值范圍是.

錯(cuò)解：由3x-m≤0即x≤的正整數(shù)解是1，2，有2≤≤3，解得6≤m≤9.

剖析：對(duì)“≥（或≤）”中“=”的意義理解不透，認(rèn)為已知中帶“=”，則解答過程中也應(yīng)帶“=”.

正解：由3x-m≤0即x≤的正整數(shù)解是1，2，有2≤＜3，解得6≤m＜9.

5． 曲解定義，套用方程組解法而出錯(cuò).

例8 解不等式組：-3x-1＞3，①

2x+1＞3. ②

錯(cuò)解：①+②，得-x＞6，故x＜-6.

剖析：根據(jù)定義，不等式組的解集應(yīng)該是每個(gè)不等式解集的公共部分．上述解法曲解了這一定義．兩不等式相加后，改變了未知數(shù)的取值范圍，因此x＜-6不是原不等式組的解集.

正解：①的解集為x＜-，②的解集為x＞1，數(shù)軸表示見圖2，所以原不等式組無解．

五、相關(guān)中考題鏈接

1. （沈陽市）把不等式組2x-4≥0，

6-x＞3的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（）.

A. B.

C. D.

2. （四川）不等式組2x＞-3，

x-1≤8-2x的最小整數(shù)解是（）.

A. -1B. 0C. 2D. 3

3. （益陽市）一個(gè)不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來如圖3所示，那么這個(gè)不等式組可為（）.

A. x＞2，

x≤-1B. x＜2，

x＞-1

C. x＜2，

x≥-1D. x＜2，

x≤-1

4. （河南）如圖4，關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是（）.

A. x＞0 B. x＞2

C. x＞-3 D. -3＜x＜2

5. （青島市）某商店的老板銷售一種商品，他要以不低于進(jìn)價(jià)120%的價(jià)格才能出售．但為了獲得更多利潤，他以高出進(jìn)價(jià)80%的價(jià)格標(biāo)價(jià)．若你想買下標(biāo)價(jià)為360元的這種商品，最多能讓老板降價(jià)（）.

A. 80元B. 100元C. 120元D. 160元

6. （山西）若關(guān)于x的不等式組x-a＞2，

b-2x＞0的解集是-1＜x＜1，則（a+b）2 006=.

7. （包頭市）一堆玩具分給若干個(gè)小朋友．若每人分3件，則剩余3件；若前面每人分5件，則最后一人得到的玩具不足3件．那么，小朋友的人數(shù)為.

8. （杭州市）已知a=，b=，并且2b≤＜a．請(qǐng)求出x的取值范圍，并把這個(gè)范圍在數(shù)軸上表示出來.

9. （佛山市）某工廠現(xiàn)有甲種原料226 kg，乙種原料250 kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共40件．生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的用料情況如下表：

設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，請(qǐng)解答下列問題：

（1）求x的值，并說明有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案．

（2）若甲種原料每千克50元，乙種原料每千克40元，請(qǐng)說明（1）中哪種方案較省錢．

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1. A 2. A 3. C 4. C 5. C 6. 1 7. 3 8. ＜x≤6，數(shù)軸表示略. 9. （1）由題意列不等式組7x＋3（40－x）≤226，

4x＋10（40－x）≤250，解得25≤x≤26．5．所以x＝25，26．所以符合題意的生產(chǎn)方案有兩種：①生產(chǎn)A種產(chǎn)品25件，B種產(chǎn)品15件；②生產(chǎn)A種產(chǎn)品26件，B種產(chǎn)品14件. （2）方案①花費(fèi)：25×（7×50＋4×40）＋15×（3×50＋10×40）＝21 000（元）．方案②花費(fèi)：26×（7×50＋4×40）＋14×（3×50＋10×40）＝20 960（元）．所以方案②較省錢.