兩類幾何體求值問題的極限解法

張京林

根限是高中數(shù)學(xué)的重要概念之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的工具.平時學(xué)習(xí)中多重視求極限和證明極限問題，對于作為一種重要的思想方法則缺少關(guān)注，特別在立體幾何的學(xué)習(xí)中，通過觀察動態(tài)過程中所處位置的極端狀態(tài)(極限情況)，即當(dāng)一個變量無限地接近一個定量時，此時的變量可看作此定量，本文中的幾何體求值問題尤其是這樣，可以避開邏輯推理和復(fù)雜運(yùn)算，得到簡潔理想的解題效果.

1 求取值的范圍

在求幾何體某些基本量的取值范圍時，可循變化的趨勢和范圍，確定兩個極限點(diǎn)，然后求出相應(yīng)的值.

例1 正三棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的角為α,則α的取值范圍是(）

A.(0，π)B.(0,π3)

C.(π3，π2）D.(π3,π)

解析 如圖所示，O為正三角形ABC的中心，SO為正三棱錐S-ABC的高，把O看作定點(diǎn)，S看作動點(diǎn)，當(dāng)OS→0時，兩相鄰側(cè)面趨向于一個平面，此時相鄰兩側(cè)面的夾角α→π;當(dāng)OS→∞時，正三棱錐無限趨向正三棱柱，兩相鄰側(cè)面的夾角愈來愈小，趨向于底面三角形ABC的一個內(nèi)角，即α→π3. 故有α∈(π3,π). 選D.

同法可以推證正n棱錐相鄰兩個側(cè)面所成角的范圍是((n-2)nπ,π).

例2 正三棱錐P-ABC的底面邊長為2a,E、F、G、H分別是PA、PB、BC、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH面積的取值范圍是(）

A.(0，+∞)B.(33a²,+∞)

C.(36a²,+∞)D.(12a²,+∞)

解析 如圖，易證明四邊形EFGH為平行四邊形.O為底面正三角形ABC的中心，PO為三棱錐的高，同例1，當(dāng)OP→0時，平行四邊形EFGH趨近于平行四邊形E1F1GH(E1、F1分別是AO、BO的中點(diǎn)），易求平行四邊形E1F1GH的面積為33a²，此時平行四邊形EFGH的面積S→33a²;當(dāng)OP→∞時，易知平行四邊形EFGH的面積S→+∞,故選B.

例3 如圖所示，三棱錐S-ABC中，底面三角形ABC是邊為a的正三角形，且SB=SC=a,則SA的長度的取值范圍是多少？

解析 SA的長度由二面角S-BC-A的大小來決定.當(dāng)二面角S-BC-A趨向于O，即S→A,此時SA→0；當(dāng)二面角S-BC-A趨向于π時，三棱錐趨向菱形ABCS.此時SA為菱形的對角線，長度為3a，即SA→3a. 所以SA的長度的取值范圍是(0，3a).

2 求定值

當(dāng)幾何體中某些基本量變化，但不影響所求幾何量仍為確定值時，可通過取一個極限點(diǎn)得解.

例4 已知正四棱錐S-ABCD相鄰兩側(cè)面所成二面角的大小為α,側(cè)面與底面所成二面角的大小為β，則2cosα+cos2β的值為.

解析 如圖所示，O為底面中心，SO為正四棱錐的高.當(dāng)OS→∞時，正四棱錐趨向于正四棱柱，此時α→π2,β→π2,則2cosα+cos2β→2cosπ2+cosπ=-1. 所以2cosα+cos2β的值為-1.也可由OS→0，此時α→π,β→0來求.

例5 若P是正四面體內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到各面距離之和等于(）

A.正四面體的棱長

B.正四面體的斜高

C.正四面體的高

D.正四面體相對棱的距離

解析 可取正四面體的頂點(diǎn)為點(diǎn)P的極限點(diǎn)，頂點(diǎn)到各面距離之和就是頂點(diǎn)到底面距離，即為高.因而P到各面距離之和為正四面體的高.選C.

例6 正三棱錐A-BCD中，點(diǎn)E在棱AB上，點(diǎn)F在棱CD上，并且AEEB=CFFD=λ(λ>0),設(shè)α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值是(）

A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析 因?yàn)閯狱c(diǎn)E、F的位置變化，不改變α+β的值.可考慮當(dāng)λ→0時，E→A,F→C,即EF→AC.因?yàn)锳C⊥BD，所以α→0,β→π2,即α+β→π2. 故選D.

例7 設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為(）

A.16V B.14V C.13V D.12V

解 將P、Q置于特殊位置：P→A，Q→C1，此時仍滿足條件PA=QC1(=0），易算得：V瑽-APQC=V瑽-ACC1=13V.故選C.

綜上所述，遵循變量變化的規(guī)律與趨勢，取變量為其中的極限狀態(tài)，可以巧妙求出上述兩類幾何體的取值范圍與定值問題.迅速、利落地解決選擇、填空題問題.在平時課堂教學(xué)中，教師要不斷滲透這種數(shù)學(xué)的思想與方法，不僅可提高學(xué)生的解題速度和解題能力，而且對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也是大有裨益.

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