巧用拋物線的對(duì)稱性解題

朱香彩

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，是關(guān)于x=- 成軸對(duì)稱的拋物線，它的對(duì)稱軸是直線x=- ，利用它的對(duì)稱性，常常能使求解變得簡(jiǎn)捷，優(yōu)化解題過程.現(xiàn)舉例說明.

1.利用圖象的對(duì)稱性求代數(shù)式的值

例1拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是x=2，且經(jīng)過P（3，0），則a+b+c的值為（）.

A.-1B.0C.1 D.2

解析：因?yàn)閽伨€線的對(duì)稱軸是直線x=2，且它經(jīng)過P（3，0），又拋物線是軸對(duì)稱圖形，所以拋物線和x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）．當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案為B.

2.利用圖象的對(duì)稱性求對(duì)稱軸方程

例2已知拋物線經(jīng)過A（2，5）和B（4，5），則該拋物線的對(duì)稱軸是什么？

解析：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過A（2，5），B（4，5）兩點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，所以A和B是對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸方程為x= =3，即對(duì)稱軸方程為x=3.

3.利用圖象的對(duì)稱性求確定函數(shù)的表達(dá)式

例3已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求此拋物線的表達(dá)式.

解析：因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），所以對(duì)稱軸為x=-1.

又因?yàn)閽佄锞€與x軸兩交點(diǎn)的距離為6，所以兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x =-1-3,x2=-1+3.則兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0）,（2,0）.

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+1）2+4.

再把（2，0）代入得a=- .

所以拋物線的表達(dá)式為y=- （x+1）2+4.

4.利用圖象的對(duì)稱性比較函數(shù)值的大小

例4已知二次函數(shù)y=x2-4x+1.

若x2-2>2-x1>0,試比較y1與y2的大小.

解析:因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=2,且x2-2>0，2-x1>0,

所以x1在對(duì)稱軸的左側(cè)，x2在對(duì)稱軸的右側(cè).

又因x 到對(duì)稱軸的距離為｜x1-2｜=2-x1，

所以x2到對(duì)稱軸的距離為｜x2-2｜=x2-2.

由題意知x2-2>2-x1>0,即x2到對(duì)稱軸的距離大于x1到對(duì)稱軸的距離.

所以y2>y1.

5.利用圖象的對(duì)稱性確定點(diǎn)的坐標(biāo)

例5已知拋物線經(jīng)過A（-2，5）和B（4，5）、C（3，-2），則該拋物線上縱坐標(biāo)為-2的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解析：仔細(xì)分析可注意到：A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由A（-2，5）和B（4，5）可得對(duì)稱軸x= =1，而拋物線上縱坐標(biāo)為-2的一點(diǎn)是（3，-2），所以關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)是（-1，-2）.故拋物線上縱坐標(biāo)為-2的另一點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”