由課本中“實(shí)驗(yàn)與探究”引出的中考題

陳良俊　曾鳳菊

1 課本中的“實(shí)驗(yàn)與探究”中的問(wèn)題

1.1 原問(wèn)題與解答

人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)第116頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”中有如下問(wèn)題(下稱原問(wèn)題)：

如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，O又是正方形A1B1C1D1的一個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，那么無(wú)論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形的面積的14，想一想為什么?

圖1 圖2 圖3要解決此題，可以先從特殊情況考慮，當(dāng)正方形繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖2所示的位置，即A1O、C1O分別與正方形ABCD的對(duì)角線重合，此時(shí)兩個(gè)正方形重疊部分是△OAB，其面積顯然等于一個(gè)正方形的面積的14.

當(dāng)正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí)，可以將一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況了解決.

方法1 如圖1，由題設(shè)易得∠AOB=∠BOF，OA=OB，∠OAE=∠OBF，△AOB≌△BOF，從而得S┧謀咝蜲EBF=S△AOB=14S┱方形ABCD.

方法2 如圖3，過(guò)O點(diǎn)分別作OG⊥AB，OH⊥BC，垂足分別為G、H，易證△OEG≌△OFH，從而得S┧謀咝蜲EBF=S┱方形OGBH=14S┱方形ABCD.

1.2 相關(guān)結(jié)論

如圖1，除了S┧謀咝蜠EBF=14S┱方形ABCD的結(jié)論外，還可以得到相關(guān)的結(jié)論，如：AE=BF，EB+BF=AB=2OB，∠OEB+∠OFB=180°，△AEO≌△BFO，△EBO≌△FCO等.

2 由原問(wèn)題引出的中考題

2.1 增加背景圖形個(gè)數(shù)

圖4例1 (2006年晉江市中考試題)將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖4所示擺放，點(diǎn)A1、A2、…、A璶分別是正方形的中心，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為( ).

A.14cm² B.n4cm²

C.n-14cm²D.(14)琻cm²

分析 這道試題在原探究問(wèn)題的基礎(chǔ)上，疊加了更多的正方形.要求n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積，必須解決兩個(gè)問(wèn)題：

其一，每一個(gè)重疊部分的四邊形的面積是多少?這由上述的原問(wèn)題可直接得到結(jié)論： 每一個(gè)重疊部分的四邊形的面積等于一個(gè)正方形的面積的14.

其二，有多少個(gè)重疊部分的四邊形?這實(shí)質(zhì)上是從圖形中探求簡(jiǎn)單的規(guī)律，由于兩個(gè)正方形有一個(gè)重疊部分，三個(gè)正方形有兩個(gè)重疊部分，依此不難得出： n個(gè)這樣的正方形有(n-1)個(gè)重疊部分.

所以，n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為n-14cm²，故選C答案.

2.2 變換背景圖形形狀

例2 (2007甘肅金昌市)一位同學(xué)拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ABC做了一個(gè)探究活動(dòng)：將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處，設(shè)AC=BC=4.

(1)如圖5，兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為，周長(zhǎng)為.

(2)將圖5中的△MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖6，此時(shí)重疊部分的面積為，周長(zhǎng)為.

(3)如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖5和圖6的圖形，如圖7，請(qǐng)你猜想此時(shí)重疊部分的面積為.

(4)在圖7情況下，若AD=1，求出重疊部分圖形的周長(zhǎng).

圖5 圖6 圖7 圖8分析 原問(wèn)題中旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)背景圖形是正方形，這里將它們改成直角三角形，本質(zhì)并沒(méi)有改變，解題思路也沒(méi)有變.直接由上面的結(jié)論得：圖5、6、7中兩三角尺重疊部分的面積是4， 易求得圖5中重疊部分圖形的周長(zhǎng)是42+4，圖6中重疊部分圖形的周長(zhǎng)是8.

第(4)問(wèn)，要求圖7中重疊部分圖形的周長(zhǎng)，關(guān)鍵是求出DM、GM的長(zhǎng)度，如圖8，過(guò)點(diǎn)M分別作MP⊥AC于P、MQ⊥CB于Q，所以DM=GM=DP²+PM²=1²+2²=5，所以重疊部分圖形的周長(zhǎng)為4+25.

2.3 變動(dòng)背景圖形位置

例3 (2007山東臨沂市)如圖9，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).

圖9 圖10 圖11(1)在圖9中，DE交AB于M，DF交BC于N.①證明：DM=DN；②在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的?若不發(fā)生變化，求出其面積；

(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖10的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖11的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立?請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，不用證明.

簡(jiǎn)析 當(dāng)直角三角板DEF旋轉(zhuǎn)到圖10所在的位置時(shí)，從直觀上可以猜想結(jié)論DM=DN仍然成立.連結(jié)BD，易證△DBM≌△DCN.

當(dāng)直角三角板DEF旋轉(zhuǎn)到圖11所在的位置時(shí)，同樣可以得到DM=DN.此時(shí)，∠MDN為直角，本質(zhì)上與圖9一樣.

評(píng)析 這道試題在例2的基礎(chǔ)上，變換了旋轉(zhuǎn)的角度，設(shè)置新的問(wèn)題.圖形位置變化了，并沒(méi)有改變?cè)瓎?wèn)題中隱含的數(shù)量關(guān)系，特別是在觀察圖3時(shí)，我們應(yīng)該有敏銳的洞察力，要從表象中看出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：與圖1給出的信息完全一樣.

2.4 改變旋轉(zhuǎn)中心

例4 (2007四川資陽(yáng)市)如圖12，已知為正方形ABD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.

(1) 求證：BP=DP；

(2) 如圖13，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP=DP?若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；

(3) 試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論 .

圖12 圖13簡(jiǎn)解 ⑴ 解法1 在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法2 利用正方形的軸對(duì)稱性，可得BP=DP.

⑵ 不是總成立 .當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，DP>DC>BP，此時(shí)BP=DP不成立.

⑶ 連結(jié)BE、DF，則BE與DF始終相等.

在圖12中，可證四邊形PECF為正方形，顯然BE=DF；

在圖13中，可證△BEC≌△DFC. 從而有BE=DF.

2.5 猜想新結(jié)論

例5 (2006年雞西市)已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB (或它們的反向延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)D、E.

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖13)，易證：OD+OE=2OC.

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖14、圖15這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

圖13 圖14 圖15簡(jiǎn)析 由原問(wèn)題中的結(jié)論，圖2中的結(jié)論仍成立.

證明 過(guò)C分別作OA、OB的垂線，垂足分別為P、Q.△CPD≌△CQE，DP=EQ ，OP=OD+DP，DQ=OE-EQ，又OP+OQ=2OC，即OD+DP+OE-EQ=2OC. 所以O(shè)D+OE=2OC.

由圖15中的線段大小關(guān)系易猜想出結(jié)論：OE-OD=2OC.

評(píng)析 本題在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上不僅將背景圖形作了改變，將正方形換成直角及三角板，而且圖形運(yùn)動(dòng)到的位置發(fā)生改變，因此得到的結(jié)論也隨之發(fā)生變化.那么在解決該問(wèn)題時(shí)要把握問(wèn)題的本質(zhì)，在圖形變化中尋求不變量，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中把握不變的規(guī)律和結(jié)論，通過(guò)類比思維，由已有的結(jié)論猜想出相關(guān)的結(jié)論.

2.6 拓展圖形探究規(guī)律

例6 (大連2005)如圖16、圖17、圖18、…、圖n，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連結(jié)OM、ON.

(1)求圖16中∠MON的度數(shù)；

(2)圖17中∠MON的度數(shù)是，圖18中∠MON的度數(shù)是；

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫(xiě)出答案).

分析 本題提出的問(wèn)題是探討∠MON的大小.從圖形的變化中可以看出，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)逐步增多過(guò)程中，∠MON隨之減小，而圖17與原問(wèn)題的圖形非常類似，不妨從圖17入手，憑直覺(jué)可知∠MON=90°，事實(shí)上運(yùn)用原問(wèn)題中的方法，連結(jié)OB、OC，證△OMB≌△ONC，故∠MON=∠BOC=90°.

在此基礎(chǔ)上，用同樣的方法可以得到：圖16中的∠MON的度數(shù)就是BC邊所對(duì)中心角∠BOC的度數(shù)，即∠MON=∠BOC=360°3=120°，圖18中的∠MON=360°5=72°.依此類推，得出規(guī)律：正n邊形中的∠MON的度數(shù)可表示為∠MON=360°n.

評(píng)析 這是一道很好的開(kāi)放性試題，它將原問(wèn)題的題設(shè)與結(jié)論進(jìn)行變換，探究新的結(jié)論，并將問(wèn)題中的背景條件正方形拓展成正三角形、正五邊形、…正n邊形， 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題中的從特殊到一般的辯證思想.命題者這一立意，除了有效考查學(xué)生簡(jiǎn)單的推理能力，更好地考察了學(xué)生的猜想探究、類比歸納等能力，讓學(xué)生在解題過(guò)程中感受幾何圖形變化之美，體會(huì)圖形變化中不變的規(guī)律，題目難度不大，容易讓學(xué)生在探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程中獲得成功的體驗(yàn).

作者簡(jiǎn)介：陳良俊，1972，男，湖北省蘄春縣人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，武漢市學(xué)科帶頭人. 長(zhǎng)期熱衷于數(shù)學(xué)教學(xué)研究. 先后在《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》等雜志上發(fā)表文章20余篇.

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