《絕對值》教學(xué)設(shè)計(jì)

張　青

理解教材

絕對值是有理數(shù)的重要概念之一，在學(xué)習(xí)絕對值之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)、數(shù)軸和相反數(shù)，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)了非負(fù)有理數(shù)，了解了非負(fù)有理數(shù)的概念、性質(zhì)及運(yùn)算，為學(xué)習(xí)有理數(shù)奠定了基礎(chǔ).絕對值與初等數(shù)學(xué)的許多知識和方法相聯(lián)系，有著廣泛和重要的應(yīng)用.(1)有理數(shù)的大小比較.有了絕對值的概念后，有理數(shù)之間的大小比較就方便多了，特別是兩個負(fù)數(shù)的大小比較，只比較絕對值即可，不必在數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)后再進(jìn)行比較.(2)求數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離.數(shù)a在數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為|a|，在數(shù)軸上表示數(shù)a和b的兩點(diǎn)間的距離為|a-b|，這對“函數(shù)”部分的學(xué)習(xí)是非常重要的.(3)有理數(shù)的運(yùn)算.一個有理數(shù)實(shí)質(zhì)上它包含兩部分，一是符號，二是絕對值，有理數(shù)的運(yùn)算在確定了結(jié)果的正負(fù)號后，剩下的問題就是絕對值的運(yùn)算了.(4)應(yīng)用絕對值的非負(fù)性.一個有理數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)，這一性質(zhì)有著重要的應(yīng)用.如“已知|a-3|+|b+2|=0，求a-b的值”，就是這一性質(zhì)的直接應(yīng)用.從前面的四點(diǎn)分析中，我們不難看出，絕對值在整個數(shù)與代數(shù)部分中有著重要的地位，應(yīng)用非常的廣泛，是后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用.

教學(xué)目標(biāo)

1.會解釋絕對值的“幾何”意義和“代數(shù)”意義，會求出一個數(shù)的絕對值；

2.結(jié)合實(shí)例，并借助數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離來探索絕對值的有關(guān)問題；

3.注意思考的周密性，要考慮到問題可能出現(xiàn)的各種情況.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度.

教學(xué)重點(diǎn)

絕對值的意義.

對于絕對值的意義“在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.”可結(jié)合數(shù)軸體會絕對值符號的形象意義.一個數(shù)的兩旁劃上兩條豎線，象征這個數(shù)的絕對值是數(shù)軸上兩條豎線間的距離.它的距離是多少，絕對值就是多少，當(dāng)然距離不能為負(fù)，故任意數(shù)的絕對值不能為負(fù)，也說明絕對值有非負(fù)性.對于絕對值的意義：“一個正數(shù)的絕對值是它本身；0的絕對值是0；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”.可通過復(fù)習(xí)有關(guān)字母表示數(shù)的知識，并在列舉大量借助數(shù)軸求正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對值的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生歸納出絕對值的這個意義，

-a(a≤0).在許多參考資料中，都把前面那個絕對值的意義稱為絕對值的“幾何”定義，把后面那個絕對值的意義稱為絕對值的“代數(shù)”意義.要加強(qiáng)變式訓(xùn)練，從正、反兩個方面引導(dǎo)學(xué)生理解絕對值的意義，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，應(yīng)多進(jìn)行諸如“已知一個數(shù)的絕對值是5，求這個數(shù)”方面的訓(xùn)練.

教學(xué)難點(diǎn)

難點(diǎn)1：數(shù)的絕對值是怎么回事.

在生產(chǎn)生活實(shí)踐中，常遇到這樣的問題：規(guī)定向東為正，甲車向東行駛了8千米，記作8千米，乙車向西行駛了8千米，記作-8千米，如果不考慮方向，我們說，兩車都行駛了8千米路程.這里的8叫做+8的絕對值，也叫做-8的絕對值.記作|+8|=8，﹟-8|=8.畫在數(shù)軸上表示如圖1所示，原點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，OA表示的是甲車行駛的路程，OB表示的是乙車行駛的路程.所以一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

圖1難點(diǎn)2：絕對值的意義.

由于算術(shù)數(shù)的影響，在有理數(shù)意義的學(xué)習(xí)中，易出現(xiàn)“帶有負(fù)號的數(shù)就是負(fù)數(shù)”的思維定勢的影響，從而對“如果a<0，那么|a|=-a”難以理解，因此，使絕對值意義的學(xué)習(xí)形成難點(diǎn).具體突破措施祥見本節(jié)教學(xué)重點(diǎn).

絕對值是初等數(shù)學(xué)最重要的概念之一，也是難點(diǎn)之一.它從七年級的有理數(shù)一直到高中的復(fù)數(shù)模，隨著教程不斷加深而提高，因此，對絕對值的認(rèn)識要遵循循序漸進(jìn)、不斷深化的原則，結(jié)合有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的運(yùn)算、根式等內(nèi)容，分階段分層次進(jìn)行認(rèn)識，不可盲目拔高.本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中只要能解決具體數(shù)的絕對值問題即可，對學(xué)有余力的學(xué)生可涉及字母的絕對值.

教學(xué)過程

一、認(rèn)識絕對值的“幾何”意義(有些參考資料上也稱作“絕對值的定義”)

1.(1)數(shù)軸上表示-12的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是( ).

A.-12 B.|-12| C.-2 D.2

(2)數(shù)軸上表示3.5的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是( ).

A.|3.5| B. -3.5 C.0 D.無法確定

思考：教育和心理學(xué)的研究表明：當(dāng)學(xué)習(xí)的材料與學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系時，學(xué)生對學(xué)習(xí)才會是有興趣的.本題中的“距離”是學(xué)生生活中熟悉的概念，在數(shù)軸上表示點(diǎn)是學(xué)生應(yīng)用已有的知識解決問題，這樣從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境和已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣.

觀點(diǎn)：在學(xué)習(xí)絕對值的概念時，由于是數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，從而使學(xué)生對絕對值的概念有了感性認(rèn)識.

2. 問題：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是( ).

A.a B.|a|

C.-a D.無法確定

思考：本題是在上題基礎(chǔ)上的延續(xù)，是在數(shù)軸上，由表示具體數(shù)的特殊點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，拓展為由字母表示數(shù)的一般點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.本題放給學(xué)生研討解答，教師巡視指導(dǎo).

3.絕對值的“幾何”意義：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.

我的思考：對概念的理解有一個過程，由于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和接受能力的差異，對絕對值的記作方式部分學(xué)生接受起來會有難度，教師可充分借助數(shù)軸，多列舉幾個例子來說明.

二、認(rèn)識絕對值的“代數(shù)”意義(有些參考資料上也稱作“絕對值的性質(zhì)”)

(1)數(shù)軸上表示+3的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，表示0.8的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，表示212的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是.

觀察第(1)小題的結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(2)數(shù)軸上表示-1.6的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，表示-2008的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，表示-34的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是.

觀察第(2)小題的結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(3)數(shù)軸上表示0的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是.

觀察第(3)小題的結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(4)把第(1)、(2)、(3)小題的結(jié)論完整的用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

2.學(xué)生展示結(jié)論

思考：由第(1)小題到第(4)小題這個過程，是將問題一般化的過程，在這個過程中，使學(xué)生理解一個數(shù)學(xué)結(jié)論是怎樣獲得的，通過這個過程學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué).在這個探究的過程中，學(xué)生頭腦中已有的不規(guī)范的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)升華為科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論，從中感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，體驗(yàn)成功，增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

觀點(diǎn)：“學(xué)貴有疑”.“疑”(問題)既能讓學(xué)生在心理上感到無所適從，也能使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖動.在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”層層設(shè)疑，使學(xué)生能借助已有的知識、經(jīng)驗(yàn)、方法，將新知識同化，這樣學(xué)生才是真正的探索者，學(xué)生在問題的意識驅(qū)動下，會產(chǎn)生積極的探究愿望.

3.絕對值的“代數(shù)”意義

結(jié)論：一個正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).用式子表示是：若a表示一個有理數(shù)，則|a|=a(a>0)

思考：(1)用文字語言和符號語言兩種形式描述和呈現(xiàn)絕對值的“代數(shù)”意義，對學(xué)生而言是一種有效地獲得對結(jié)論本身深入理解的方法.(2)數(shù)學(xué)語言有文字語言、符號語言和圖形語言，對于絕對值“代數(shù)”意義的文字語言和符號語言，學(xué)生對文字語言掌握的會好些，對于絕對值的符號語言形式，學(xué)生有個熟悉理解的過程，在具體的題目中可反復(fù)對照與其相應(yīng)的式子.

觀點(diǎn)：在用字母符號來表示數(shù)的絕對值時，學(xué)生對絕對值性質(zhì)的認(rèn)識從感性階段上升到了理性階段.在這個過程中，滲透了對應(yīng)思想、分類思想，還滲透了由具體到抽象的概括的方法.

三、與絕對值有關(guān)的問題

解答下面各題

1.求下列各數(shù)的絕對值

-112，112，365，-2008，-(-5).

2.已知一個數(shù)的絕對值是7，求這個數(shù).

3.已知|x|=35，則x=.

4.有沒有絕對值是-2的數(shù)?

思考：通過具體題目的解答，加深學(xué)生對絕對值性質(zhì)的理解，能選擇正確的方法解答各個題目.第2、3小題答案不唯一，學(xué)生中往往有遺漏的情況，而第4小題滿足題意的數(shù)不存在，個別學(xué)生不理解，怎么會不存在呢?出現(xiàn)上述情況，主要還是對絕對值意義沒有真正理解.教師在此給與恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥釋疑.

四、絕對值的內(nèi)涵和外延

內(nèi)涵：任何數(shù)都有絕對值.

由絕對值的意義，我們得到：正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).即：當(dāng)x>0時，|x|=x；當(dāng)x=0時，|x|=0；當(dāng)x<0時，|x|=-x.

外延1：絕對值有非負(fù)性.

無論是從絕對值的“幾何”意義，還是從絕對值的“代數(shù)”意義，都揭示了絕對值的一個重要特征——非負(fù)性.即：對于任何有理數(shù)a，總有|a|≥0.因此，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則-a≥0，也即a≤0，此時a是一個負(fù)數(shù)，這是理解的難點(diǎn)，尤其是對關(guān)于若|a|+|b|=0，則a=b=0的這樣一個式子的重要認(rèn)識.

外延2：絕對值的平方性.

若a為有理數(shù)，則有|a|²=a².

觀點(diǎn)：對知識的學(xué)習(xí)，不僅要知其內(nèi)涵，更要知其外延，從中使我們明確，不能僅滿足于知識的表面結(jié)構(gòu)和特征，而更應(yīng)該進(jìn)行深入的分析，特別是外延2，實(shí)際上是式子|a|=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)的變式，可是我們往往忽略或沒有想到.引導(dǎo)學(xué)生對概念、公式、法則或定理等進(jìn)行內(nèi)涵、外延的分析，是對學(xué)生學(xué)法的重要指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問題的習(xí)慣.

五、絕對值與日常生活

問題：正式足球比賽對足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定.下面是6個足球的質(zhì)量檢測結(jié)果.用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù).檢測結(jié)果：-25，-10，+20，-30，+15，+40.請指出哪個足球的質(zhì)量好一些，并用絕對值的知識進(jìn)行說明.

認(rèn)識：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組編寫的“全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)解讀”第160頁：面對實(shí)際問題，能夠主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)的知識和方法尋求解決問題的策略，是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要體現(xiàn)，也是能否將所學(xué)的知識和方法運(yùn)用于實(shí)際的關(guān)鍵.

六、高效練習(xí)，鞏固深化

1.完成教材隨堂練習(xí)題目.

2.補(bǔ)充(學(xué)有余力學(xué)生完成)

(1)(2007年長沙市數(shù)學(xué)中考試題)如圖2，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m、n，則A、B間的距離是 .(用含m、n的式子表示)

思考：去掉絕對值常用的方法有：利用絕對值的“幾何”意義、利用絕對值的“代數(shù)”意義、利用數(shù)軸信息(如第(1)、(2)題)；去掉絕對值還有些特殊的方法，如利用絕對值的非負(fù)性(如第(3)題)、分類討論(如第(4)、(5)題)等，要結(jié)合具體題目，選擇簡便、恰當(dāng)?shù)姆椒ń獯?

觀點(diǎn)：由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”、“列代數(shù)式”等知識，所以，補(bǔ)充的5個題目對于部分學(xué)生而言，可能會有一定難度，師生共同研討解答，教師多給學(xué)生以方法上的指導(dǎo)，具體解答由學(xué)生來完成.

七、課堂小結(jié)

1.知識點(diǎn)

(1)用語言敘述絕對值的“幾何”意義，舉例說明；

(2)用式子表示絕對值的“代數(shù)”意義，舉例說明；

(3)舉例說明，任何數(shù)都有絕對值嗎?

(4)如何理解絕對值的非負(fù)性.

2.數(shù)學(xué)思想方法

(1)分類思想；

(2)化歸思想；

(3)數(shù)形結(jié)合思想.

3.思維方式

(1)逆向思維；

(2)發(fā)散思維.

4.知識遷移

(1)數(shù)軸；

(2)運(yùn)用絕對值解決實(shí)際問題.

5.情感、態(tài)度、價值觀

(1)勤學(xué)善思、樂于合作；

(2)嚴(yán)謹(jǐn)、周密、認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度；

(3)數(shù)學(xué)的符號美、簡約美.

觀點(diǎn)：課堂小結(jié)是一節(jié)課學(xué)習(xí)的升華和深化，是非常重要的一個環(huán)節(jié).課堂小結(jié)，不是單一知識點(diǎn)的羅列，還應(yīng)從數(shù)學(xué)思想方法獲取、技能提升、能力發(fā)展、學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)、學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)等方面進(jìn)行梳理和反思.學(xué)生剛升入中學(xué)時間不長，對課堂小結(jié)，有的學(xué)生不是高度重視、有的學(xué)生不知如何進(jìn)行小結(jié)、有的學(xué)生還可能認(rèn)為課堂小結(jié)是老師的事，自己聽聽就是了，等等，什么樣的情況都可能有，所以，教師要在初一學(xué)習(xí)的起始階段，結(jié)合課堂教學(xué)，向?qū)W生說明課堂小結(jié)的重要性，教給學(xué)生如何進(jìn)行課堂小節(jié)，這也是對學(xué)生能力培養(yǎng)的一個重要方面.

教有所思

絕對值是有理數(shù)的重要概念之一，本節(jié)課的學(xué)習(xí)主要把握好兩條“線”. 一條“線”是知識線. 知識線中又包含兩部分內(nèi)容，一是知識的內(nèi)涵，即絕對值的“幾何”意義和“代數(shù)”意義；二是知識的外延，即絕對值的非負(fù)性和絕對值的平方性. 另一條“線”是思維方法線. 包括數(shù)學(xué)思想方法和思維方式. 學(xué)習(xí)“線索”、層次、環(huán)節(jié)清晰和明確，學(xué)生的學(xué)習(xí)才不會有負(fù)擔(dān)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會變得“簡單”、實(shí)用. 所以教材只使教師教學(xué)的資源和載體，教師要創(chuàng)造性地使用教材，將其二度開發(fā).

這里送給老師們一個小故事，愿對老師們有所啟迪.

三個抄寫員

黎錦熙是我國著名的國學(xué)大師. 民國頭10年他在湖南辦報，當(dāng)時幫他謄寫文稿的有3個人.

第一個抄寫員沉默寡言，只是老老實(shí)實(shí)地抄寫文稿，錯字、別字也照抄不誤，后來，這個人一直默默無聞. 第二個抄寫員則非常認(rèn)真，對每份文稿都先進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的檢查然后才抄寫，遇到錯字、病句都要改正過來. 后來，這個抄寫員寫了一首歌詞，經(jīng)聶耳譜曲后命名為《義勇軍進(jìn)行曲》. 他就是田漢. 第三個抄寫員則與眾不同，他也仔細(xì)看每份文稿，但他只抄寫與自己意見相符的文稿，對那些意見不同的文稿則隨手扔掉，一句話也不抄. 后來，這個人建立了以《義勇軍進(jìn)行曲》為國歌的中華人民共和國. 他就是毛澤東.

作者簡介：張青，1966年1月生，中學(xué)高級教師. 主要研究初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究. 曾先后獲得齊魯名師、山東省教學(xué)能手、山東省優(yōu)秀教師、濰坊市跨世紀(jì)學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人、濰坊市普通中小學(xué)十佳教師、全國初中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師等稱號. 舉行市、省、國家級公開課、觀摩課三十余節(jié).“課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)探究活動”、“正確處理新課程課堂教學(xué)的三個關(guān)系”等十余篇論文發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《當(dāng)代教育科學(xué)》等報刊上?主編書籍《走在社會實(shí)踐路上》、《數(shù)學(xué)的探究與創(chuàng)新》、《學(xué)科教學(xué)創(chuàng)新支點(diǎn)——數(shù)學(xué)》等十余本，參編《初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練》、《高效學(xué)習(xí)法(數(shù)學(xué))》等教學(xué)用書三十余本. 主持的全國教育科學(xué)“十五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題分課題“綜合實(shí)踐活動課程資源整合實(shí)驗(yàn)研究”于2006年9月通過鑒定并在全國范圍內(nèi)推廣. 現(xiàn)主持研究的山東省教育科學(xué)規(guī)劃“十一五”重點(diǎn)課題《培養(yǎng)學(xué)生遷移意識，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力(編號：115JG21)》，已取得初步成效，受到業(yè)內(nèi)同行的廣泛關(guān)注.

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