數(shù)學(xué)活動室

張建山

在復(fù)習(xí)“有理數(shù)”一章后半部分的內(nèi)容時，七（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的所有成員又聚到一起，開展本學(xué)期的第四次興趣小組活動.

組長趙毓晗首先說：“‘有理數(shù)一章后半部分主要是有關(guān)有理數(shù)的乘除、乘方以及混合運(yùn)算等內(nèi)容.下面請大家就這部分內(nèi)容暢談自己學(xué)習(xí)的感受.”一向心直口快的劉宗林馬上說道：“我感覺有理數(shù)的乘除運(yùn)算和小學(xué)學(xué)過的內(nèi)容差不多，而乘方運(yùn)算只不過是幾個相同數(shù)的乘法運(yùn)算的另一種書寫形式.”思維更為活躍的“數(shù)學(xué)王子”高炎生聽不慣劉宗林這種無所謂的腔調(diào)，略帶些霸氣地說：“對你的說法我不敢茍同.在有理數(shù)之間進(jìn)行乘除、乘方以及混合運(yùn)算，與小學(xué)學(xué)過的乘除和混合運(yùn)算相比，還是有很大的區(qū)別.你沒聽老師在課上總結(jié)嗎？有理數(shù)之間的運(yùn)算不僅包含絕對值的運(yùn)算，還有符號的運(yùn)算，而乘方運(yùn)算是更高級的運(yùn)算.我們可不能輕視.”劉宗林臉上微顯不悅之色.見剛開始就有了點(diǎn)“火藥味”，其他同學(xué)忙打圓場：“組長，還是和以前一樣，你先出些題，我們討論一下吧！重要不重要，容易不容易，題目中見分曉.”“那好吧！”說著，趙毓晗在黑板上寫下了以下幾道題目：

①計算：- 24 ÷ （- 8） × -

.

②計算：- 22 - （- 3）3 × （- 1）2 - （- 1）3.

③計算：- .

④下列說法中正確的是（）.

A． 若a ≠ b，則a2 ≠ b2B． 若a ＞ b，則a2 ＞ b2

C． 若a2 = b2，則a = bD． 若a + b = 0，則a3 + b3 = 0

趙毓晗剛寫完，劉宗林又搶先說道：“我知道第①題如何解答.本題是只含有乘除的混合運(yùn)算，要注意從左往右的運(yùn)算順序.式子中的（-8） × -

是個陷阱，千萬不可因?yàn)橄胍M(jìn)行簡便運(yùn)算而改變運(yùn)算順序.所以本題要先算（- 24） ÷ （- 8），再把所得的商與- 相乘.最終結(jié)果顯然是.”“啊……不對！”大家齊喊道，“應(yīng)該是- ，你沒有進(jìn)行符號運(yùn)算.”劉宗林一怔，仔細(xì)一瞧，連拍自己的腦門，為自己的粗心懊惱不已.“第②題該如何解答？”趙毓晗問道.劉宗林這回不敢輕易發(fā)言了，這時班長宋祥威說：“我清楚第②題如何解答.本題重在考查乘方運(yùn)算.在乘方an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)，乘方的結(jié)果叫冪.在具體運(yùn)算時，一定要弄清某個指數(shù)所對應(yīng)的底數(shù)是什么.在本題的第一項(xiàng)‘- 22中，指數(shù)2所對應(yīng)的底數(shù)是2，而不是-2.這里的負(fù)號是2的2次冪的性質(zhì)符號.”說著他在黑板上作了如下板書：原式= - 4 - （- 27） × 1 - （- 1） = － 4 + 27 + 1 = 24.劉宗林看著班長的板書邊點(diǎn)頭邊說：“那第③題中指數(shù)2對應(yīng)的底數(shù)應(yīng)該是5，而不是，更不是- ，所以運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該是- .這次我沒有再上當(dāng)吧.”大家都為他的細(xì)心點(diǎn)頭稱好.高炎生突然說道：“那你再說說第④題該選哪一個.”劉宗林仔細(xì)閱讀了一下題目，緩緩說道：“A選項(xiàng)中當(dāng)a = 2，b = - 2時，a ≠ b，但是22 = （- 2）2，即a2 = b2.當(dāng)a，b相等或互為相反數(shù)時，a2 = b2；反之亦然.所以A選項(xiàng)錯誤，C選項(xiàng)也容易判斷，是錯誤的.本題應(yīng)該選擇B、D兩個選項(xiàng)中的一個，我感覺B選項(xiàng)不對，我猜是選D.”對學(xué)習(xí)一向要求嚴(yán)格的閆明大聲說：“怎么能猜呢？要說明B選項(xiàng)是錯誤的，也只需舉一個反例啊.比如，1 ＞ － 3，但12 ＜ （- 3）2.用排除法可以知道一定是選D.”

這時一直站在一旁的數(shù)學(xué)老師張老師上前一步對大家說：“剛才幾位同學(xué)的回答都很好.用淘汰法確實(shí)是一種很好的解答選擇題的方法.但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只停留在為解答一道題目而解題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.要學(xué)會在解題后反思，要真正理解題目要考查的知識，領(lǐng)會解答題目的方法，挖掘出題目的解答中所蘊(yùn)涵的規(guī)律.這樣才可以達(dá)到觸類旁通、事半功倍的效果.拿剛才這個問題來說，題目旨在考查我們對有理數(shù)的奇數(shù)次冪與偶數(shù)次冪的特征的理解.大家知道，任何有理數(shù)的偶數(shù)次冪一定是非負(fù)數(shù)（即為正數(shù)或零），但奇數(shù)次冪則不改變底數(shù)的正負(fù)性，特別是對一對相反數(shù)而言，它們的偶數(shù)次冪是相等的，而奇數(shù)次冪卻仍然互為相反數(shù).若能理解這一點(diǎn)，解決剛才的問題就易如反掌了.”

趙毓晗見所有的問題都解決了，于是說：“看來大家今天的收獲都不小.近來，大家在學(xué)習(xí)中一定都遇到過一些解決不了的問題，那就寫在黑板上，讓我們一起來解決吧！”很快，黑板上便有了下面幾個問題.

①若ab ＜ 0，則 ++= .

②求32 008的個位數(shù)字.

③已知a = 355，b = 444，c = 533，試比較a，b，c的大小.

④計算：1 + 2 + 22 + 23 + … + 22 007.

一番討論之后，同學(xué)們開始陸續(xù)發(fā)言了.

組長趙毓晗說：“第①題需要用分類思想解答.已知ab ＜ 0，則a，b必異號.若a ＞ 0，b ＜ 0，則原式 = ++ = － 1；若a ＜ 0，b ＞ 0，則原式=++= -1.所以原式的值為－ 1.”

（讀者朋友，請你思考：若abc ＜ 0，則 +++的值是多少？）

數(shù)學(xué)課代表傅皓說：“第②題中要求32 008的個位數(shù)字，需先找規(guī)律：31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，….可以發(fā)現(xiàn)從第5個數(shù)開始個位上數(shù)字便出現(xiàn)循環(huán)，即每4個為一個循環(huán).2 008除以4余0，所以32 008的個位數(shù)字和34的個位數(shù)字一樣，為1.”

（同樣可以求任何一個整數(shù)的任意正整數(shù)次冪的個位數(shù)字.那么，72 007的個位數(shù)字是多少呢？試試看.）

李雪妮說：“我在課外教輔資料上看過第③題的解答過程，其解答的關(guān)鍵是要把各個式子化為同底數(shù)或同指數(shù)的式子后再作比較.355表示55個3相乘，將55個3每5個一組，可分成11組，由乘方的定義可把355寫成（3 × 3 × 3 × 3 × 3）11 = （35）11，即24311；同理可以把444，533分別寫成（44）11，（53）11，即25611，12511.它們的指數(shù)相同，而底數(shù)中256最大，125最小，所以444 ＞ 355 ＞ 533.即b > a >c.”

可是對第④題卻沒有人發(fā)表見解了，看來同學(xué)們是給難住了.任務(wù)只好留給張老師.

張老師說：“第④題直接計算確實(shí)很難.這里我教給大家一種特殊的方法——錯位相消法.設(shè)S = 1 + 2 + 22 +23 + … + 22007，兩邊同乘以2，得2S = 2 + 22 + 23 + … + 22 007 + 22 008.大家仔細(xì)觀察這兩個等式的特點(diǎn)，第二個等式的右邊與第一個等式的右邊相比，只是少了個1，多了個22008，于是將第二個等式減去第一個等式可得2S - S = 22 008 - 1，即S = 22 008 － 1.所以原式的計算結(jié)果為22 008 － 1.當(dāng)然，這一方法只有當(dāng)算式中相鄰的兩項(xiàng)的比值相等時才能使用.今天的興趣小組活動中，同學(xué)們的參與熱情很高，大家再說說自己的收獲吧！”

“數(shù)的范圍擴(kuò)大為有理數(shù)后，各種運(yùn)算與小學(xué)相比雖然沒有什么大的變化，但也得細(xì)心，特別要注意符號運(yùn)算.下次我一定小心，不能再在這方面吃虧了.”劉宗林有些害羞地說.

“從這次解決這些問題的過程看，真正地領(lǐng)悟相關(guān)概念的意義是解決與之相關(guān)問題的基礎(chǔ)，而不應(yīng)該一味地尋求技巧.”一向少言寡語的張璇有點(diǎn)語出驚人……

親愛的讀者朋友，你對于有理數(shù)的運(yùn)算，還有哪些處理不了的問題呢？趕快動手寫出來，在自己的興趣小組活動中說一說，讓大家共同幫助你解決吧！

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