數(shù)學(xué)小王子漫游“多邊形”王國

劉　頓

明明是七年級有名的數(shù)學(xué)愛好者，不僅如此，而且對所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識了如指掌，解決有關(guān)題目時得心應(yīng)手，所以大伙兒都稱他是“數(shù)學(xué)小王子”.在今天的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，老師講述了有關(guān)“多邊形”王國的故事，并讓同學(xué)們留心觀察周圍各種建筑物的地面、墻面的瓷磚形狀，以便從中發(fā)現(xiàn)各種不同形狀的三角形、多邊形.聽了老師的講解，數(shù)學(xué)小王子便對“多邊形”情有獨鐘.于是，數(shù)學(xué)小王子懷著對“多邊形”王國的美好憧憬，單獨來到這美好的“多邊形”王國.

國王首先請數(shù)學(xué)小王子來到知識宮殿.

在知識宮里，數(shù)學(xué)小王子看到的是一幅幅留有空白的條幅，國王要求他通過對知識的回憶完成下面的填空.

1.三角形的基本概念：叫做三角形，叫做三角形的邊，叫做三角形的頂點，叫做三角形的內(nèi)角，叫做三角形的外角，叫做三角形的中線，叫做三角形的角平分線，叫做三角形的高.

2.三角形中角的關(guān)系：①三角形的內(nèi)角和等于；②三角形的任意一個外角等于和它的兩個內(nèi)角的；③三角形的一個外角任何一個與它的內(nèi)角；④三角形的外角和為.

3.三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.銳角三角形的三個角都是；直角三角形有一個角是，兩個角是.鈍角三角形有一個角是，兩個角是.三角形按邊分類有不等邊三角形和三角形（含等邊三角形）.

4.三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和第三邊；三角形的任意兩邊之差第三邊.

5.多邊形的有關(guān)性質(zhì)：n邊形內(nèi)角和為；任意多邊形的外角和為；正n邊形的一個外角為；n（n＞3）邊形具有不穩(wěn)定性；三角形具有.

6.用正多邊形鋪滿地板.用同一種正多邊形可以鋪滿地板的有正三角形、正方形、正六邊形.這就是說，當(dāng)360°÷的結(jié)果為正整數(shù)時，即為正整數(shù)時，用這樣的正n邊形就可以地面.用多種正多邊形鋪地板，拼成既不留空隙，又不重疊的平面圖形的關(guān)鍵是，圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角相加恰好等于.

在知識宮里面，數(shù)學(xué)小王子完成填空后，國王就直接領(lǐng)著他來到了考點宮殿.

在考點宮里，數(shù)學(xué)小王子看到的是清一色的2007年各類中考試題.國王請數(shù)學(xué)小王子從這些試題中精心挑選有關(guān)多邊形的考題，并作簡析.

例1（揚州市）用等腰直角三角板畫∠AOB＝45°，并將三角板沿OB方向平移到如圖1所示的虛線處，然后繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)22°，則三角板的斜邊與射線OA的夾角α為____.

簡析：依題意可知∠AMB＝45°+22°＝67°，而由三角形的外角與不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系可知α+∠AOB＝∠AMB，即α＝∠AMB－∠AOB＝67°－45°＝22°.

例2（重慶市）已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）.

A.20°B.120°

C.20°或120° D.36°

簡析：已知這個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，若設(shè)這個等腰三角形的頂角為x，則根據(jù)題意，得底角為4x或x.于是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可列出方程x+4x+4x＝180°或x+x+x＝180°，解得x＝20°或x＝120°.故應(yīng)選C.

例3 （安順市）如果等腰三角形的兩邊長分別為4和7，則三角形的周長為.

簡析：若4是腰長，7是底邊長，則三角形的周長為15；若4是底邊長，7是腰長，則三角形的周長為18.所以這個等腰三角形的周長為15或18.

例4（株洲市）現(xiàn)有2 cm、4 cm、5 cm、8 cm長的四根木棒，任意選取三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數(shù)為（）.

A.1B.2 C.3D.4

簡析：已知四條線段，取其中三條，只要滿足三角形的三邊關(guān)系即可.由此可知可以組成三角形三條線段的長分別是：2 cm、4 cm、5 cm；4 cm、5 cm、8 cm.故應(yīng)選B.

例5（1）（長沙市）單獨使用正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形四種地磚，不能鑲嵌（密鋪）地面的是.

（2）（資陽市）n邊形的內(nèi)角和比（n+1）邊形的內(nèi)角和小____度.（n為整數(shù)，且n≥3）

簡析：（1）正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形的每一個內(nèi)角分別是60°，90°，120°，135°，而360°不是135°的整數(shù)倍，所以正八邊形不能鑲嵌（密鋪）地面.（2）因為（n+1）邊形的內(nèi)角和為[（n+1）－2]×180°＝（n－1）×180°，而n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°，所以（n－1）×180°－（n－2）×180°＝180°，所以n邊形的內(nèi)角和比（n+1）邊形的內(nèi)角和小180°.

完成了對中考試題的簡析，數(shù)學(xué)小王子本想輕松一下，可國王硬是將他拉到了易錯宮殿，并要求他說出平時同學(xué)們經(jīng)常出現(xiàn)錯誤的原因和具體例子.

數(shù)學(xué)小王子對國王說，多邊形雖然是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸到的最基本的幾何圖形，但平時我們在具體求解問題時，由于畫圖不當(dāng)或考慮不周密等，總是會出現(xiàn)一些錯誤.常見的錯誤有：

1.作圖時出現(xiàn)的錯誤.如，作有關(guān)鈍角三角形的高時最容易出錯，又如，錯誤認為三角形的角平分線、中線和高都是射線.

2.確定三角形邊長的取值范圍時書寫錯誤.如2＞a＞3.

3.忽視三條線段組成三角形的條件.如錯誤認為長度分別為1、2、3的線段可以組成三角形.

4.遇到等腰三角形時忽視分類討論.如，求以2和3為邊的等腰三角形的周長時，只得出一個答案7，又如，己知等腰三角形的一個內(nèi)角等于70°，求底角的度數(shù)時，只得出一個答案：底角是55°.

5.忽視圖形的本質(zhì)特征.如誤以為同一種形狀大小都相同的任意四邊形不能鋪滿地面，等等.

數(shù)學(xué)小王子說，出現(xiàn)這些錯誤的原因一般都是對多邊形的有關(guān)概念理解不夠深刻，性質(zhì)掌握不牢所致.

數(shù)學(xué)小王子走過上面幾道宮殿，國王覺得數(shù)學(xué)小王子真的不簡單，于是徑直帶他到了訓(xùn)練宮殿，讓他好好地展示一下自己的風(fēng)采.

1.如圖2，若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，則△AEC的面積S＝，CE＝.

2.如圖3，在△ABC中，D是BC上一點，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63° .求∠DAC的度數(shù).

3.如圖4，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于D，那么∠BDC＝90°+∠A，這個結(jié)論正確否?

4.已知多邊形的一個內(nèi)角的外角與其他各內(nèi)角的和為600°，求邊數(shù)及該外角的度數(shù).

5.我們常見到如圖5那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地面．

（1）密鋪地面，能否全用正五邊形的材料，為什么？

（2）你能不能另外想出一個用一種多邊形（不一定是正多邊形）的材料鋪地的方案？把你想到的方案畫成草圖.

（3）請你再畫出一個用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖．

數(shù)學(xué)小王子看到全是自己學(xué)過的知識，于是一口氣給出了下面的答案：

1.S=3 cm2，CE=3 cm.

2.∠DAC=24°.

3.這個結(jié)論正確.

4.這個多邊形邊數(shù)為5，外角為120°或邊數(shù)為6，外角為30°.

5.（1）所用材料的形狀不能是正五邊形.原因略.（2）略.（3）略.

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