關于十五子的游戲

同學們玩過十五子的游戲嗎？請看我國著名的數(shù)學家、“陳氏定理”的創(chuàng)立者陳景潤為你揭秘.

在一張紙上，畫一個正方形，并把它分成大小相同的十六個方格，再剪出十五個大小相同的正方形紙板，而這些正方形紙板面積稍小于方格的面積.在這些小紙板上寫上1到15這十五個數(shù).這樣我們就可以來玩十五子游戲了.把這十五個紙板按任意的順序放到這十六個小方格中去（如圖1）.由于每個小方格只能放一個，因而，有一個小方格是空著的.游戲規(guī)定：當且僅當紙板與空格相鄰時，這個紙板才能和空格相互調換位置，紙板相互之間不能調換位置.現(xiàn)在的問題是能不能經(jīng)過有限次的移動以后，把這十五個子的順序排為圖2的樣子.我們知道把這十五個紙板按任意順序放到這十六個小方格中去的方法共有16×15×…×3×2=20 922 789 888 000種.若每一種都要來試一下能不能排成圖2的樣子，那得花費多少時間啊！于是，我們只能多動腦筋，去找出這個游戲的規(guī)律.

我們不難看出，任一紙板都能經(jīng)過幾次和空格相互對換位置后，移到這十六個小方格中的任一指定的方格中.為了敘述方便，我們將這十六個小方格標上號碼，如圖3所示.另外我們把十五個紙板分別稱為1，2，3，…，15.首先，我們可以把1移到一號位置上，然后，能否把2移到二號位置上呢？這也是可以做到的.若2在第一列，我們可以把它移出第一列，也可以把空格移出第一列，然后第一列不動，而在第二、三、四列中，仿前述方法把2移到第二號位置上.1、2的位置確定后，我們不動它，用相同的方法還可以把3移到三號位置上去.這時如果空格不在四號位置上，要想不動1、2、3，而把4移到四號位置上去，卻一定不能夠做到了.因為在四號位置右邊和上邊都沒有方格，而左邊的3又不能動，故只有下邊的第八號位置與它有聯(lián)系了.但我們總可以使第一行不動，而把4移到第八號位置上，把空格移到第十二號位置上，如圖4所示.在圖4中，我們取出第三、四、七、八、十一、十二這六個方格出來而構成圖5.為了方便起見，我們將這幾號位置中紙板上的數(shù)字分別用甲、乙、丙來代替.然后依次把4往下移、甲往下移、3往右移，乙往上移，如圖6.再把甲往左移、4往上移、丙往右移，就變成了圖7.在圖7中把甲往下移，乙往下移，3往左移，4往上移.此時3、4已分別在第三、四號位置上了（如圖8）.

第一行排好后，不動第一行，按照安排第一行的方法，當然能夠把5、6、7分別安排在第五、六、七號位置上，把8安排在八號位置上去.

再來安排第三行與第四行時，就要使用不同的辦法了，我們不是先排第三行，而是先排第一列下面的兩個位置，即第九和第十三號位置.這也不難做到，因為我們可以把第一列看做第一行，按照排第一行后面的兩個位置的辦法來安排第一列后面的兩個位置.9和13都已安排好后，按上述辦法，我們還能把10、14也分別安排到第十、十四號位置上，這時只剩下11、12、15這三塊紙板還沒有安排好.我們可以把11移到第十一號位置上，剩下的12、15可能出現(xiàn)下列兩種情況：其一是12、15都恰好分別移到第十二號及第十五號位置上，如圖9所示，這正是我們所要達到的目的；但也可能出現(xiàn)第二種情況，如圖10所示，12排在第十五號位置上，而15排在第十二號位置上.因為圖11可經(jīng)過圖12、13、14變成為圖15，于是我們知道任給一個初始狀態(tài)，經(jīng)過上面的一系列移動后，可以變?yōu)閳D16與圖17兩種順序中的一種，我們稱圖16為“正常排列”，而稱圖17為“奇異排列”.應該說，作為一種游戲，討論到此就算完了.但如果要問“奇異排列”能不能夠重新移動而變?yōu)椤罢Ｅ帕小?？哪一種初始狀態(tài)能變?yōu)椤罢Ｅ帕小保磕囊环N初始狀態(tài)要變?yōu)椤捌娈惻帕小?？那就不得不借助于較多的數(shù)學方法了.（未完待續(xù)）

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