對多邊形內(nèi)角和公式的探究

孟　坤

小剛生病在家，沒能到校上課. 晚上，小亮去看望小剛，并帶去了自己的數(shù)學筆記.

“小亮，我們今天又學習了什么新內(nèi)容？”小亮一進門小剛就問道.

“我們學習了‘多邊形及其內(nèi)角和這一節(jié)，李老師引導我們探究了多邊形的內(nèi)角和公式.”小亮答道.

“多邊形的內(nèi)角和公式？快說說，怎么回事？”

“這個公式是這樣推導得出的.”小亮邊說邊在練習本上畫出了圖形（如圖1），“從n邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，可連（n-3）條對角線，把n邊形分割成（n-2）個三角形.這樣，n邊形的內(nèi)角和恰好等于這（n-2）個三角形的內(nèi)角和之和，即（n-2）·180°.”

小剛想自己再探究一下試試，一不留神，在畫圖時，卻畫成了圖2. 小亮發(fā)現(xiàn)了，說道：“你畫錯了.”

看著圖形，小亮又突發(fā)奇想，利用圖2是否也能推導出n邊形內(nèi)角和公式呢？小亮發(fā)現(xiàn)從點P出發(fā)與n邊形的各個頂點連線，除n邊形的邊外可連（n-2）條線，將n邊形分割成（n-1）個三角形.此時，n邊形的內(nèi)角和就等于這（n-1）個三角形的內(nèi)角和之和再減去點P處的平角，即（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.顯然，這個結論與原來推導出的結論相同，小亮欣喜若狂，小剛也非常高興.

小亮受此啟發(fā)，對小剛說：“咱們再探討一下，看看是否還有其他方法.你看，第一種方法出發(fā)點P在頂點，第二種方法出發(fā)點P在頂點之外的邊上，可見，點P的位置與推導的方法有一定的關系.”

“若出發(fā)點P在多邊形的內(nèi)部行不行呢 ？”小剛問.

“那我們畫圖試試吧. 如圖3，從點P出發(fā)與n邊形各頂點可連n條線，將n邊形分割成n個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于這n個三角形的內(nèi)角和之和再減去點P處的周角，即n·180°-360°=（n-2）·180°.你看，也可以.”小亮高興地說.

第二天，他們把探究的情況告訴了老師.老師表揚了他們這種刻苦鉆研的精神和創(chuàng)新意識，并說：“你們的方法稱為割形法，事實上，還可以利用補形法來推導這個公式.它的思路是：適當延長一些邊，可將n邊形補成一個大三角形，同時在n邊形外部新增（n-3）個三角形，共可得到（n-2）個三角形，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，把多邊形的內(nèi)角之和轉化為這（n-2）個三角形內(nèi)角的和.”

“那您能證明給我們看看嗎？”

“好吧，我們用探究規(guī)律的方式來證明它.如圖4，將四邊形ABCD補成三角形，得到△PBC、△PAD，圖中∠1=∠4+∠P，∠2=∠3+∠P，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為 ∠1+∠2+∠B+∠C=∠4+∠P+∠3+∠P+∠B+∠C=360°（兩個三角形的內(nèi)角和之和）；如圖5，將五邊形補成三角形，可得到3個三角形，同樣地，五邊形的內(nèi)角和為（5-2） × 180°=540°；如圖6，將六邊形補成三角形，可得到4個三角形，六邊形的內(nèi)角和為（6-2） × 180°=720°……依次類推，可得到n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°.”

李老師最后總結說：“綜觀以上各法，推導多邊形內(nèi)角和公式時，利用的都是轉化思想，即把多邊形分成若干個三角形，從而把不熟悉的多邊形問題轉化為熟悉的三角形問題來解決.這種轉化思想對于學好數(shù)學是極為重要的，希望你們掌握好.”