有效利用三角形的高

樊雨生

在“三角形”這一章里我們認識了三角形的高線，你是否注意到了它的獨特性呢？我們來總結一下三角形高線的用法.

1. 利用高線與邊垂直的性質(zhì)求角度

三角形的高線與三角形的邊可以構成直角三角形，直角三角形的出現(xiàn)為角度的轉(zhuǎn)換與計算提供了便利.

例1已知△ABC的高為AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度數(shù)．

[思考與分析]由于AD為BC邊上的高，過點A作BC邊的垂線時，垂足D可能落在邊BC上，也可能落在 邊BC的延長線上.因此，我們需要分情況討論．

解：（1）當垂足D落在邊BC上時的情形如圖1.

因為∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.

（2）當垂足D落在邊BC的延長線上時的情形如圖2.

因為∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．

所以∠BAC為90°或50°．

【小結】 三角形可以分為銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形三類，題目所給條件中如果沒有明確說明三角形的具體類型，我們就要分類討論，以防遺漏.

2. 利用三角形的面積公式求線段的長度

例2如圖3，在△ABC中，AD、CE是兩條高，BC=5 cm，AD=3 cm，CE=4 cm，你能求出AB的長嗎？

[思考與分析]由于三角形的面積等于底與對應高乘積的一半，因此三角形的面積就有三種不同的表達方式.若設△ABC的三邊長分別為a、b、c，對應邊上的高分別為h1、h2、h3，那么三角形的面積S=ah1=bh2=ch3.本題可利用S△ABC=BC·AD=AB·CE解答.

解：S△ABC=BC·AD=AB·CE.

所以5 × 3=AB × 4.解得AB=（cm）．

【小結】用同一個三角形的不同的面積表達式建立等式求三角形中線段的長度，是一種很重要的方法，在今后的學習中，我們應注意這種方法的運用．

例3如圖4，在△ABC中，AB=AC，AC邊上的高BH=10 cm，D為邊BC上任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求DE+DF.

[思考與分析]BH、DE、DF均為相應線段的垂線段，AB=AC，可把垂線段作為相應三角形的高.連接AD，則DE、DF、BH分別為△ABD、△ADC、△ABC的高，可用三角形的面積轉(zhuǎn)換它們的關系.

解：連接AD.因為S△ABD=AB·DE，S△ADC=AC·DF，S△ABC=AC·BH，S△ABD+ S△ADC= S△ABC，所以AB·DE+AC·DF=AC·BH.

所以AB·DE+AC·DF=AC·BH.

又因為AB=AC，BH=10 cm，所以DE+DF=BH=10 cm.

【小結】點D在BC上任意運動時（不與點B、點C重合），結論DE+DF=BH總成立.