體驗(yàn)不等式（組）模型在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

肖雯敏

運(yùn)用方程模型可解決生活中的不少問(wèn)題，這些問(wèn)題都涉及等量關(guān)系.其實(shí)，在日常生產(chǎn)生活中，不等關(guān)系更為普遍，利潤(rùn)的優(yōu)化、方案的設(shè)計(jì)等方面都有不等關(guān)系.研究不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型——一元一次不等式（組）就是處理后者的一個(gè)利器.在具體運(yùn)用時(shí)，它既可單獨(dú)使用，也可與方程等多種知識(shí)配合使用.

一、靈活運(yùn)用一元一次不等式相關(guān)知識(shí)，可使開(kāi)支最少

問(wèn)題1某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種工人的月工資分別為600元和1 000元，現(xiàn)要求乙種工種人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍.甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使工程隊(duì)每月支付工資最少？

分析：合理的人力資源調(diào)配，可使工廠盡可能減少人力開(kāi)支.由于甲種工人的工資較低，因此應(yīng)盡可能多招甲種工人，但由于生產(chǎn)要求所限，又不能全招甲種工人，因此，應(yīng)該發(fā)掘題中的不等關(guān)系，以確定甲種工人人數(shù)的范圍.設(shè)招甲種工人x個(gè)，乙種工人（150-x）個(gè)，依題意得150-x≥2x，x≤50.因?yàn)榧追N工人的月工資比乙種工人的少，為了節(jié)約費(fèi)用，應(yīng)盡可能多招甲種工人，而由以上不等式可知，甲種工人最多只能為50人.所以當(dāng)甲種工人為50人，乙種工人為100人時(shí)，可使工程隊(duì)每月支付的工資最少.

說(shuō)明：利用不等式求參數(shù)的取值范圍是生活中經(jīng)常遇到的.只有懂得根據(jù)實(shí)際情況以及數(shù)量的不等關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍，才能進(jìn)一步進(jìn)行最佳選擇.

二、綜合運(yùn)用一元一次不等式與方程知識(shí)，可使成本最小

問(wèn)題2“黃?！鄙称费芯克麑⒓住⒁?、丙三種食物混合研制成100千克食品，并規(guī)定研制成的混合食品中至少需要44 000單位的維生素A和48 000單位的維生素B．三種食物的維生素A、B的含量及成本如表1所示.

設(shè)取甲、乙、丙三種食物的質(zhì)量分別為x千克、y千克、z千克．

（1）根據(jù)題意列出等式或不等式，并證明：y≥20且2x－y≥40.

（2）若混合食品中要求含有甲種食物的質(zhì)量為40千克，試求此時(shí)制成的混合食品的總成本w（元）的取值范圍，并確定當(dāng)w取最小值時(shí)，可取乙、丙兩種食物的質(zhì)量．

分析：（1）由題意得x+y+z=100，

結(jié)合y≥20可知，20≤y≤40.而此時(shí)的總成本w=9x+12y+8z=9×40+12×y+8×（100-40-y）=360+12y+800-320-8y=840+4y.顯然，w隨y的增大而增大，當(dāng)y=20時(shí)（此時(shí)z=40），w取最小值920；當(dāng)y=40時(shí)，w取最大值1 000.即w的取值范圍是920≤w≤1 000.

說(shuō)明：在比較復(fù)雜的問(wèn)題中，要善于利用題中的相等關(guān)系和不等關(guān)系綜合分析問(wèn)題.在解答本題時(shí)，先利用相等關(guān)系與不等關(guān)系，列出方程和不等式，然后借用解二元一次方程組時(shí)所學(xué)的消元思想，用代入消元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，從而確定變量的范圍，然后利用函數(shù)的增減性加以解決.

三、靈活運(yùn)用不等式知識(shí)，可合理安排生產(chǎn)、營(yíng)銷(xiāo)方案

問(wèn)題3為了保護(hù)環(huán)境，某企業(yè)決定購(gòu)買(mǎi)10臺(tái)污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格、月處理污水量及年消耗費(fèi)情況如表2.

經(jīng)預(yù)算，該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)設(shè)備的資金不高于105萬(wàn)元.

（1）該企業(yè)有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？

（2）若企業(yè)每月生產(chǎn)的污水量為2 040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種方案？

（3）在（2）的條件下若每臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，污水處理廠處理污水費(fèi)為每噸10元，請(qǐng)你計(jì)算，該企業(yè)自己處理污水與將污水排到污水處理廠相比較，10年節(jié)約資金為多少萬(wàn)元.（注：企業(yè)處理污水的費(fèi)用包括購(gòu)買(mǎi)設(shè)備資金和消耗費(fèi)）

分析：（1）由題中“購(gòu)買(mǎi)設(shè)備資金不高于105萬(wàn)元”可列不等式組，求A型、B型設(shè)備臺(tái)數(shù)的范圍，即可確定方案（需符合題意）.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，比較各種方案在污水量為2 040噸時(shí)的資金，資金最少的方案即為所求.（3）此問(wèn)是在（2）中所確定的方案中代入兩個(gè)等量關(guān)系，再相減即可.具體解答過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己來(lái)完成.

說(shuō)明：我們先運(yùn)用不等式確定初步的可能方案，再進(jìn)行方案的比較，最終選取最優(yōu)方案.

其實(shí)，在經(jīng)濟(jì)生活中運(yùn)用一元一次不等式的地方還有很多.通過(guò)體驗(yàn)不等式模型在生活中的應(yīng)用，你是否受益匪淺呢？

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>