例析列不等式（組）解應(yīng)用題

葛余常

新課程目標(biāo)指出，“要初步學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”.近幾年來中考試題中不斷出現(xiàn)各種新型的實際應(yīng)用題，就是這一思想的具體體現(xiàn).本文現(xiàn)介紹用不等式（組）來解答應(yīng)用題，并作歸類分析.

一、不等關(guān)系明確型

題目中反映某些量的關(guān)系由表示不等關(guān)系的詞、句連接而成，這類應(yīng)用題不妨視為不等關(guān)系明確型.

例1（2007年·南充）某商店需要購進一批電視機和洗衣機，根據(jù)市場調(diào)查，決定電視機進貨量不少于洗衣機的進貨量的一半．電視機與洗衣機的進價和售價如下表.

計劃購進電視機和洗衣機共100臺，商店最多可籌集資金161 800元．

請你幫助商店算一算有多少種進貨方案.（不考慮除進價之外的其他費用）

分析：此題主要考查了列不等式（組）解應(yīng)用題，解決此類問題的關(guān)鍵在于找出其中的不等關(guān)系并列出不等式（組）.所以要抓住一些關(guān)鍵詞語如“不超過”、“超過”、“不足”、“不大于”、“不小于”等等.

解：設(shè)商店購進電視機x臺，則購進洗衣機（100－x）臺，根據(jù)題意，得：

x

≥（100-x），

1 800x+1 500（100-x）≤161 800.

解不等式組，得33≤x≤39．

即購進電視機最少34臺，最多39臺，商店有6種進貨方案．

評注：列一元一次不等式（組）解應(yīng)用題的步驟與列一元一次方程（組）解應(yīng)用題步驟類似：要從題意出發(fā)，設(shè)好未知數(shù)后，分析題目中的實際情境，抓住表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞、句列出不等式（組），再求解集或特殊解，檢驗并作答.

二、不等關(guān)系隱蔽型

有些應(yīng)用題從表面上看沒有不等關(guān)系，而僅找等量關(guān)系又無法使得問題獲解.

例2（2007年·懷化）2007年某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)有的3 490盆甲種花卉和2 950盆乙種花卉，搭配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側(cè).已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．

（1）某校九（1）班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設(shè)計，符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來．

（2）若搭配一個A種造型的成本是800元，搭配一個B種造型的成本是960元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？

分析：本題隱含了A、B兩種園藝造型中甲種花卉不多于3 490盆、乙種花卉不多于2 950盆這樣的信息，據(jù)此，可列出不等式組進行解答.

解：設(shè)搭配A種造型x個，則B種造型為（50-x）個，依題意，得：

80x+50（50-x）≤3 490，

40x+90（50-x）≤2 950.解這個不等式組，得：x≤33，

x≥31.故31≤x≤33.

易知x是正整數(shù)，故x可取31，32，33，所以可設(shè)計三種搭配方案：

①A種園藝造型31個，B種園藝造型19個；

②A種園藝造型32個，B種園藝造型18個；

③A種園藝造型33個，B種園藝造型17個．

（2）方法一：由于B種造型的成本高于A種造型的成本，所以B種造型越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案③，成本最低，最低成本為：33×800+17×960=42 720（元）.

方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43 040（元）.

方案②需成本：32×800+18×960=42 880（元）.

方案③需成本：33×800+17×960=42 720（元）.

應(yīng)選擇方案③，成本最低，最低成本為42 720元.

評注：解不等關(guān)系隱蔽型應(yīng)用題時，獲取數(shù)據(jù)，理解背景，挖掘隱含關(guān)系、理順關(guān)系是關(guān)鍵.解答此類題常通過解不等式組確定未知量的取值范圍，從而求出未知量的值.這類應(yīng)用題在日常生活中屬常見問題，應(yīng)引起特別關(guān)注.此外運用不等式（組）解實際問題時，要注意等號是否成立.

三、不等關(guān)系比較型

有些應(yīng)用題需要間接利用不等式來比較幾個量的大小，求解時常需用分類討論方法，依變量的不同變化范圍，選擇相應(yīng)的合算方案.

例3（2007年·資陽）某乒乓球訓(xùn)練館準備購買n副某種品牌的乒乓球拍，每副球拍配k（k≥3）個乒乓球.已知A、B兩家超市都有這個品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的標(biāo)價都為20元，每個乒乓球的標(biāo)價都為1元.現(xiàn)兩家超市正在促銷，A超市所有商品均打九折(按原價的90%付費)銷售，而B超市買1副乒乓球拍送3個乒乓球.若僅考慮購買球拍和乒乓球的費用，請解答下列問題：

（1）如果只在某一家超市購買所需球拍和乒乓球，那么去A超市還是B超市買更合算？

（2）當(dāng)k=12時，請設(shè)計最省錢的購買方案.

分析：對A、B兩家超市的比較，實質(zhì)上是兩種費用的大小比較，因此本題要分三種情況分類討論.由此可運用方程和不等式的相關(guān)知識求解，從而確定出更合算的方案.

解：（1）由題意，去A超市購買n（n為正整數(shù)）副球拍和kn個乒乓球的費用為0.9（20n+kn）元，去B超市購買n副球拍和kn個乒乓球的費用為[20n+n（k－3）]元.

由0.9（20n+kn）<20n+n（k－3），解得k>10；

由0.9（20n+kn）=20n+n（k－3），解得k=10；

由0.9（20n+kn）>20n+n（k－3），解得k<10.

故當(dāng)k>10時，去A超市購買更合算；當(dāng)k=10時，去A、B兩家超市購買都一樣；當(dāng)3≤k<10時，去B超市購買更合算.

（2）當(dāng)k=12時，購買n副球拍應(yīng)配12n個乒乓球.

若只在A超市購買，則費用為0.9（20n+12n）=28.8n（元）；

若只在B超市購買，則費用為20n+（12n-3n）=29n（元）；

若在B超市購買n副球拍，然后再在A超市購買不足的乒乓球，則費用為20n+0.9×（12-3）n=28.1n（元）.

顯然，28.1n<28.8n<29n.

故最省錢的購買方案為：在B超市購買n副球拍同時獲得送的3n個乒乓球，然后在A超市按九折購買9n個乒乓球.

評注：此類集不等式、方程知識于一體的應(yīng)用題，形式多樣，內(nèi)容豐富.諸如購團體或個人門票問題，使用不同計費方式的手機資費問題等都在生活中有原形.要解決這樣的實際問題，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型.

四、方程與不等式的混合型

有些應(yīng)用題，既有等量關(guān)系，又有不等關(guān)系.解這類混合型應(yīng)用題時，可借助不等關(guān)系來解不定方程，通過不定方程的多組解確定最優(yōu)方案或最大效益，這是近幾年較常見的一種中考題型.

例4（2007年·濰坊）為改善辦學(xué)條件，北海中學(xué)計劃購買部分A品牌電腦和B品牌課桌．第一次，用9萬元購買了A品牌電腦10臺和B品牌課桌200張；第二次，用9萬元購買了A品牌電腦12臺和B品牌課桌120張．

（1）每臺A品牌電腦與每張B品牌課桌的價格各是多少元？

（2）第三次購買時，銷售商對一次購買量大的客戶打折銷售．規(guī)定：一次購買A品牌電腦35臺以上（含35臺），按九折銷售，一次購買B品牌課桌600張以上（含600張），按八折銷售．學(xué)校準備用27萬元購買電腦和課桌，其中電腦不少于35臺，課桌不少于600張，有幾種購買方案？

分析：本題由等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，再分別求解就能使問題迎刃而解.

解：（1）設(shè)每臺A品牌電腦m元，每張B品牌課桌n元，則有：

10m+200n=90 000，

12m+120n=90 000.解得m=6 000，

n=150.

（2）有兩種方案．

設(shè)購電腦x臺，課桌y張，x，y為正整數(shù)，則有0.9×6 000x+0.8×150y=270 000，

x≥35，

y≥600.解得35≤x≤

36，

600≤y≤675.

x=35時，y=675；x=36時，y=630．

方案①：購電腦35臺，課桌675張；

方案②：購電腦36臺，課桌630張．

評注：在涉及多個未知量且含不等關(guān)系的應(yīng)用問題中，往往需要列出方程組、不等式組來求解，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握這類問題的求解方法.

綜上可知，運用不等式或不等式組的知識解決問題，其基本思路是建立不等式（組）的模型，從實際問題中準確地找到不等關(guān)系加以解決.列一元一次不等式或一元一次不等式組解應(yīng)用題的一般步驟是：

（1）弄清題意和題目的數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)；

（2）找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個或幾個不等關(guān)系；

（3）根據(jù)不等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，列出不等式或不等式組；

（4）解這個不等式或不等式組.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>