考查圓——小題向綜合題的轉(zhuǎn)化

2007年，如北京、廣東等17個省市的高考試題（文、理科共有14套試卷）中，在綜合題中對圓的有關(guān)知識內(nèi)容進行了不同程度的考查.同2005年、2006年相比，明顯地加大了在綜合題中對圓的內(nèi)容的考查力度.對圓的內(nèi)容的考查，明顯體現(xiàn)出從小題向綜合題轉(zhuǎn)化的趨勢，具體體現(xiàn)在以下三個方面：

1 直接考查求圓的方程

考試說明中對圓的方程內(nèi)容的考查，要求“掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程”.而圓的一般方程是以二元二次方程的形式體現(xiàn)，主要適用于代數(shù)運算方面.“掌握確定圓的幾何要素”，也就是確定圓心和半徑.圓的標準方程反映出圓的幾何特征——圓心和半徑，從而更容易寫出圓的標準方程，所以在考題中多數(shù)都是通過題設(shè)條件求出圓心和半徑的方法來求得圓的方程.如2007年北京卷（文科（19）、理科（17））題

矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0)，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T(-1,1)在AD邊所在直線上.

（Ⅰ）求AD邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；

（Ⅲ）若動圓P過點N(-2,0)，與矩形ABCD的外接圓外切，求圓P的圓心軌跡方程.

根據(jù)題設(shè)條件，分析矩形圖形的有關(guān)性質(zhì)，通過解兩直線方程組成的方程組求得圓心坐標，再利用兩點間的距離公式求出半徑，從而得出“矩形ABCD的外接圓”的標準方程.此題的前兩小問，將平面幾何中的一個重要而基本的圖形——矩形與圓結(jié)合起來，難度不大，但考查到的基礎(chǔ)知識卻不少.

類似地，如遼寧卷（文（21）、理（22））第1小問：“已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2=2x上，其中O為坐標原點，設(shè)圓C是△OAB的外接圓（點C為圓心）（Ⅰ）求圓的方程”.通過求出在拋物線上“以原點O為頂點的正三角形”的另外兩個對稱頂點的坐標，再結(jié)合正三角形外接圓的性質(zhì)，求出三角形外接圓的圓心和半徑，最后由標準方程形式寫出所要求的圓的方程.比較北京和遼寧卷兩道解析幾何綜合題，一道題是求矩形外接圓的方程，另一道是求正三角形外接圓的方程，可謂是“形似且神似”般地“不謀而合”.

我們不妨再將全國卷Ⅱ（文（21）、理（22））和廣東卷（文（19）、理（18））拿出來比較一下：

（全國卷Ⅱ）在直角坐標系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x-3y=4相切.

（1）求圓O的方程；（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求PA·PB的取值范圍.

（廣東卷）在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為22的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓x2a2+y29=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

（1）求圓C的方程；

（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

以上兩道考題中的第1小問，雖然都是以求圓的方程為目標且解題方法完全相同，但題設(shè)卻“似而不同”：全國卷Ⅱ是在已知圓心的條件下，通過直線與圓相切求半徑寫出圓的方程，廣東卷則是在已知半徑的條件下，通過“直線與圓相切于原點”求圓心坐標后寫出圓的方程.而安徽理科卷（19）題題設(shè)中，直接給出“以原點為圓心，以t（t>0）為半徑”，要求考生能寫出圓的方程并加以運用.因此，對于求圓的方程的考題，基本上都落在“確定圓的幾何特征——圓心和半徑”上，這也正符合高考考試說明的要求.

2 考查圓的性質(zhì)、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系

對于圓的內(nèi)容，考試說明還要求：能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，能用直線和圓的方程解決一些簡單問題.07年各地高考題中，有13個省市的解析幾何綜合題對此進行了考查.如海南、寧夏卷（文科）、湖北卷（文、理）：

（海南、寧夏卷文（21））在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A、B.

（Ⅰ）求k的取值范圍；（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.

湖北卷（理（19）、文（21））如圖，在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點.

（Ⅰ）若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由（此題不要求在答題卡上畫圖）.

海南、寧夏卷第1小問除了考查圓的概念（已知圓的方程求圓心和半徑）外，還通過直線與圓相交來考查一元二次方程的有關(guān)知識，湖北卷則考查直線與圓相交構(gòu)成的相交弦弦長問題.

類似地，山東卷（理（21）、文（22））第2小問中，因為題設(shè)條件“以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點D”，故AD⊥BDDA·DB=0進而轉(zhuǎn)化為坐標運算（也可用求圓的方程的方法求解）來考查圓的性質(zhì)（直徑所對的圓周角為直角）.北京卷第3小問（（Ⅲ）若動圓P過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程.）和遼寧卷第2小問都從不同角度對兩圓位置關(guān)系進行了不同層次的考查.

3 新課標地區(qū)對圓的內(nèi)容的考查比重加大

在新課標的教學大綱中，對解析幾何的要求明顯降低，并且在解析幾何的教學要求上偏重于直線與圓的方程(要求“理解”和“掌握”)，而對圓錐曲線，即使理科，除了掌握圓、拋物線的意義及簡單性質(zhì)外，其余只作“了解”要求.07年新課標地區(qū)的高考試題正是按新課標的要求命制的.2007年廣東等實施新課標教學的四省，高考文、理科共六套試題中，竟然有五套試題中的解析幾何綜合題是以考查圓為主或與圓相關(guān)，可見其比重之大.

對08年高考的啟示：由于高考綜合題對圓的內(nèi)容的考查，其焦點集中在圓的方程、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系上，且大都是中檔題，考查的知識與方法側(cè)重于最基礎(chǔ)的，所以建議高三復習時，只有采取“小題大作”，熟練在各種題設(shè)下求圓的方程的方法，掌握直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的判斷，才能真正收到“大題化小，小題化了”的效果.

作者簡介 沈偉忠，出生于1963年9月，中學數(shù)學高教師，主要研究高、初中數(shù)學教學和數(shù)學競賽，主編《高中數(shù)學總攻略》（360多萬字，由汕頭大學出版社出版）等六部高中數(shù)學學習資料，參與編寫的書十多部.在各種數(shù)學專業(yè)雜志上發(fā)表數(shù)學論文100多篇.

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