高中數(shù)學(xué)新課程中的章首語

孔白芬　張維忠

浙江省現(xiàn)采用的普通高中數(shù)學(xué)實驗教材是由人民教育出版社出版的A版教材.教材封面設(shè)計、主編寄語、本冊導(dǎo)引、章首語、章頭圖及正文中的“觀察”、“思考”、“探究”及“邊空”等等，都給人耳目一新的感覺.其中章首語以及與其配套的章頭圖對數(shù)學(xué)的教與學(xué)有重要影響，其有利于教師與學(xué)生整體地把握數(shù)學(xué)，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法，體會數(shù)學(xué)的真諦.筆者按模塊對A版5本必修教材章首語中數(shù)學(xué)素材內(nèi)容、問題設(shè)置進行簡單的分類統(tǒng)計（統(tǒng)計時以實例數(shù)量為單位，如一模塊章首語中提及的幾個實例算幾個單位）發(fā)現(xiàn)，這套高中教材必修系列章首語篇幅雖小，但其中所包含的數(shù)學(xué)素材內(nèi)容卻相當豐富，共有48處，所設(shè)置問題達25個.本文將對章首語的有關(guān)問題進行探討，以下是筆者的一些認識與教學(xué)實踐.

1 章首語的創(chuàng)新點與教學(xué)的現(xiàn)狀分析

1.1 章首語的創(chuàng)新點

前沿性 章首語版面設(shè)計非常新穎，圖片大多來源于生活和科技的最前沿，在視角上給人以強大的沖擊力和震撼力.在各個模塊中都可以清楚地看到章首語選取了大量與本章教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的、典型的、豐富的和學(xué)生熟悉的素材.

探索性 章首語中呈現(xiàn)的問題重點側(cè)重于開放、探索、應(yīng)用.章首語提供的這些具有探索性、拓展性、思想性和時代性的素材，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動空間，也擴大了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識面，有效地促進了學(xué)生的主動探索，并讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)在推動其他科學(xué)和整個文化進步中的巨大作用.如在必修數(shù)學(xué)3安排的“算法初步”一章的章首語，就充分體現(xiàn)了信息技術(shù)的應(yīng)用，有利于學(xué)生借助信息技術(shù)進一步探索數(shù)學(xué)的本質(zhì).

情意性 章首語具有很強的“親和力”.學(xué)生在章首語感受到數(shù)學(xué)巨大威力的同時，還深切地感受到數(shù)學(xué)的美.如數(shù)列模塊中數(shù)目的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列…都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律.另外，章首語的語言也令人體會到這一感覺，浪漫的言辭（“有人說，大自然是懂數(shù)學(xué)的”），動人的故事（“古代嫦娥奔月”），經(jīng)典的詩句（“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”）等.這些人性化的表述，或關(guān)切或激勵的語調(diào)有別于老教材，讓學(xué)生覺得“情意性”很濃，仿佛是一個關(guān)懷學(xué)生成長的智慧長者在與學(xué)生進行對話，一步一步引導(dǎo)學(xué)生走向未知數(shù)學(xué)的奇妙天地.

引導(dǎo)性 各章節(jié)章首語矩形圖標呈現(xiàn)的文本欄目大都概述了本章節(jié)在現(xiàn)實世界的作用、在高中數(shù)學(xué)中的地位、章節(jié)內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求.章首語語言表述簡單扼要，條理清晰，具有很強的引導(dǎo)性.

1.2 章首語教學(xué)的現(xiàn)狀分析

作為一線數(shù)學(xué)教師都非常喜歡新教材中的章首語，但目前實際教學(xué)中還局限于欣賞為主，沒有發(fā)揮其應(yīng)有的價值.從教師方面講，這是因為：（1）受課時限制.因教學(xué)課時緊張，教師一般都未能花時間啟動這一塊的教學(xué).（2）把握不準.教師因為對素材不是很熟悉，怕造成教學(xué)不嚴謹或產(chǎn)生歧義，怯而止步.（3）覺得相關(guān)知識與課堂教學(xué)關(guān)聯(lián)不大.如三角函數(shù)模塊中月亮圓缺變化素材，月亮圓缺變化周期性與三角函數(shù)的周期有關(guān)但還是有點距離.（4）另外章首語內(nèi)容與對應(yīng)知識點有關(guān)，但還不能很好切入主題，還有一些章首語反映的實際背景或模型與其他學(xué)科知識教學(xué)不同步.

學(xué)生則認為矩形圖標呈現(xiàn)的文本欄目語言過于文本化，未能以生動活潑的形式激發(fā)其興趣；部分問題較抽象；章首語對出現(xiàn)的新名詞未作解釋；配套的學(xué)生教輔用書太少.由于學(xué)生學(xué)習(xí)水平有限，學(xué)習(xí)自覺性不夠，從而很難從這些章首語中吸取有效營養(yǎng)去主動探究.因此，許多時候章首語往往成了一種擺設(shè)，基本上沒有發(fā)揮它應(yīng)有的功能.

2 章首語的教學(xué)探討

在新教材中怎樣充分使用好章首語，做好章首語的教學(xué)呢？通過對章首語的學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟，筆者嘗試在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中結(jié)合一些具體案例進行有針對性的教學(xué).

2.1數(shù)學(xué)教學(xué)中的情境創(chuàng)設(shè)

在課堂教學(xué)中利用章首語創(chuàng)設(shè)一定的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)親切、自然的同時，產(chǎn)生“看個究竟”的沖動，興趣盎然地投入學(xué)習(xí).

信手拈來：指數(shù)函數(shù)引入

學(xué)生觀察：章頭圖的主圖(海底游弋的魚)與配圖(一塊魚化石).

通過圖中話：經(jīng)探測，得知一塊魚化石中碳14的殘留量約占原始含量的46.5%，據(jù)此考古學(xué)家推斷這群魚是6300多年前死亡的，你知道這里用到了哪個函數(shù)模型嗎？

引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)求知欲，置學(xué)生于“在活的生物體內(nèi)，碳14的含量保持不變；當生物體死亡后，體內(nèi)碳14的含量將隨著時間的變化按一定的規(guī)律衰減”這一情境中，為引出指數(shù)函數(shù)作了鋪墊.

類比挖掘：對數(shù)函數(shù)應(yīng)用教學(xué)

師：請同學(xué)們看一張圖片，我國遼東半島普蘭店附近的泥炭層中出古蓮子，有上千年的歷史，至今大部分還能發(fā)芽開花.

師：如何知道這些古蓮子是多少年以前的遺物呢?

生：碳14.

師：要測定古物的年代放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都含有微量的碳14，動植物死后，停止新陳代謝，不再產(chǎn)生碳14，且原有的會自動衰變，經(jīng)過5570年，它的殘余只有原來的一半(稱半衰期).

問題：經(jīng)過科學(xué)測定知碳14的原含量為a，則經(jīng)過t年后的殘余量a′與a滿足a′=a·e-kt，并測得出土的古蓮子的殘留量為原來的87.9%，你能求出古蓮子為多少年前的遺物嗎？

先給出一張古蓮花圖，一方面學(xué)生對古蓮子至今大部分還會發(fā)芽開花非常好奇，此時也很想知道古蓮子的年代.于是教師提出問題，使學(xué)生興趣盎然地開始思考該問題的解決，這樣學(xué)生就能迅速進入對數(shù)函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)了.

2.2 著眼于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)

把反映時代氣息的章首語素材作為教學(xué)的相關(guān)例子，把要教的內(nèi)容放在學(xué)生喜歡探索的形式中.

靈活處理：函數(shù)的概念教學(xué)

引入：演示章頭圖運載“神舟”五號載人航天飛船的火箭升空，以及“神舟”五號載人航天飛船進入預(yù)定軌道后在太空飛行的場景.

實例1：飛船在上升過程中離地面的距離隨時間的變化情況.

實例2：飛船外的溫度和氣壓隨飛船與地面的距離的變化情況.

呈現(xiàn)解析式、圖象、表格數(shù)據(jù).

問題：分析、歸納以上實例，變量之間的關(guān)系有什么共同點？

再經(jīng)討論分析，歸納得出函數(shù)的概念.

教學(xué)中，充分展示函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，使學(xué)生理解如何用函數(shù)來刻畫現(xiàn)實世界中變量之間的相互依賴關(guān)系，進而自然地開展函數(shù)概念的教學(xué).

2.3 著眼于數(shù)學(xué)價值的教學(xué)

適當變通：算法的概念

在完成算法的概念教學(xué)后，教師引導(dǎo)學(xué)生回到章頭圖.

觀察章頭圖的后景：介紹宋代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)著作《四元玉鑒》.

觀察章頭圖的前景后部：介紹盛行一時的計算工具——算籌、算盤.中國古代數(shù)學(xué)曾一度領(lǐng)先世界，并蘊含了豐富的算法思想.

觀察章頭圖的前景前部分：介紹計算機可謂是20世紀最偉大的發(fā)明，而算法是計算機科學(xué)的重要基礎(chǔ)，隨著社會的發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用.

鼓勵：作為未來的你們要想中國領(lǐng)先世界，須發(fā)奮圖強學(xué)好新知.

將章頭圖具體化，進一步明確其教育價值，讓學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)的社會文化價值.

2.4 著眼于數(shù)學(xué)知識拓展的教學(xué)

在章節(jié)學(xué)習(xí)回顧時，章首語內(nèi)容可成為促進學(xué)生對所學(xué)章節(jié)內(nèi)容從更高層次整體認識與把握的良好載體，進一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動空間.如數(shù)列這一章節(jié)，除在章節(jié)引入時解讀向日葵花盤上種子數(shù)目，讓學(xué)生感受斐波那契數(shù)列的神奇的同時，還可在復(fù)習(xí)課中作如下教學(xué)設(shè)計.

重新構(gòu)建：數(shù)列復(fù)習(xí)課

簡介：意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他所著的《算盤全集》中提出的兔子繁殖問題，故又稱為“兔子數(shù)列”.揭示課題《神奇的斐波那契數(shù)列》.

（1）通項公式探索

問題1：如何用數(shù)學(xué)式子表示這串數(shù)列的特點：其中任一個數(shù)都是前兩數(shù)之和？

演示：通項公式的推導(dǎo)方法之一（普通方法）.

引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)方法：由遞推公式轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列求各項的和.

（2）性質(zhì)探索

問題2（改編課本習(xí)題）：利用上面的數(shù)列{a璶}，通過公式b璶=a璶a璶+1構(gòu)造一個新的數(shù)列{b璶}，試寫出數(shù)列b璶的前5項，并求出近似值.有什么發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：隨著數(shù)列項的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金比0.6180339887…

問題3：嘗試各種運算，各奇數(shù)項與前后兩項有何關(guān)系？偶數(shù)項呢？

發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1.

簡述：其余一些奇妙的性質(zhì).

（3）應(yīng)用與延伸

思考：有一條n級樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，問欲登上去，共有幾種走法？

該數(shù)列的重要價值還在于它能作為一些實際問題的數(shù)學(xué)模型，從而使復(fù)雜的實際問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的數(shù)學(xué)問題的解決上.

總結(jié)與反思：研究數(shù)列的一般方法即研究通項公式、性質(zhì)；一般數(shù)列推導(dǎo)通項公式轉(zhuǎn)化為特殊的等差等比數(shù)列求解的方法；構(gòu)造思想；嘗試意識等.

科學(xué)家發(fā)現(xiàn)無論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在自然界中都有很多有趣的現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有關(guān)，如：楊輝三角對角線上各數(shù)之和、鋼琴的13個半音階的排列、雄峰第六代的排列等.有興趣的同學(xué)可以通過瀏覽互聯(lián)網(wǎng)或查閱相關(guān)書籍搜集資料，進一步了解和研究斐波那契數(shù)列.

本案例抓住章頭語和章頭圖揭示的主線，以學(xué)生熟悉的數(shù)列知識貫穿課堂始終，最終著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的進一步拓展.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2] 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué) （必修1—必修5 ）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3] 顧泠沅.教學(xué)改革的行動與詮釋[M]. 北京:人民教育出版社,2003.

[4] 張維忠.文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育[M]. 北京:人民教育出版社,2005.

作者簡介 孔白芬，女，浙江省溫州市人.中教一級，在讀教育碩士，現(xiàn)任教于浙江省平陽縣山門中學(xué).

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