模式思想對代數(shù)教學(xué)意義的探討

曹一鳴　王竹婷

幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個最經(jīng)典的分支，是數(shù)學(xué)方法與思想的重要源泉，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容.古典的綜合幾何（歐氏幾何）曾統(tǒng)治數(shù)學(xué)及其教學(xué)有2000年的歷史.隨著解析幾何的誕生，把分析的方法（代數(shù)方程）引進幾何研究，使得初等幾何的問題代數(shù)化、形式化，從而為數(shù)學(xué)研究的程序化、機械化、模式化奠定了基礎(chǔ).更進一步，數(shù)學(xué)的代數(shù)化成為20世紀數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要特征1.代數(shù)在從其他領(lǐng)域汲取新思想、新方法的同時，不斷深入到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域以及數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域，這是由于它的方法與結(jié)果形成一種一般模式具有廣泛性.從某種意義上講，數(shù)學(xué)就是一種模式的科學(xué)，正是由于這種代數(shù)模式的推動，促進了許多新學(xué)科相互交織發(fā)展.因此，代數(shù)不再被看成是解決一些技巧性很強的個別支離破碎的問題和沒有意義的符號游戲，而是由“代數(shù)思維”貫穿的整體，這種代數(shù)思維的一個很重要的特征就是模式，已經(jīng)延伸到幾何、概率等領(lǐng)域.因此，代數(shù)思維已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本話語，代數(shù)思維的教學(xué)是學(xué)生在數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域獲得成功經(jīng)驗的必要準備.2

代數(shù)教學(xué)在我國已有一定的重視，但是對于將代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)中的“核心思想（big idea）”的教學(xué)進行研究則相對較少.對幾何教學(xué)以及邏輯思維則視為數(shù)學(xué)的“核心思想”而忽視了對代數(shù)思維的研究.在國際上已經(jīng)有很多學(xué)者對代數(shù)思維展開了深入的討論、研究.主要集中在以發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維這一理念下提出的，旨在通過對代數(shù)核心思想的教學(xué)，讓學(xué)生獲得對代數(shù)整體性認識和概念性理解，將課程被割裂的代數(shù)知識整合起來，并將代數(shù)與幾何及其他學(xué)科緊密聯(lián)系3.特別需要提及的是全美數(shù)學(xué)教師理事會（NCTM）關(guān)于“為每個人的代數(shù)”的報告，促使越來越多的數(shù)學(xué)教育專家關(guān)注于代數(shù)思維的教學(xué)研究，并明確提出將代數(shù)核心思想作為貫穿中小學(xué)代數(shù)教學(xué)的主線.4

目前，對代數(shù)思想中的核心思想究竟包括哪些，眾說紛紜，Randall I. Charles在NCTM 2005年會上歸納的10個代數(shù)核心思想具有一定的代表性：數(shù)、運算方法和關(guān)系、性質(zhì)、比例、等價、比較、變量、模式、關(guān)系和函數(shù)、方程和不等式.相關(guān)的研究表明，模式作為代數(shù)核心思想之一已受到普遍的認同和關(guān)注.模式是指現(xiàn)實或數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)形式，它必須能夠反映出某類事物的關(guān)系結(jié)構(gòu).本文以“模式”為例，對代數(shù)核心思想進行探討，旨在為我國的核心思想的教學(xué)提供借鑒和啟發(fā).

1 模式的概念界定

人們通常使用的“模式”一詞，來源于“模型”.“?！卑藢嵨锬Ｐ偷囊饬x，“式”包含了形式、樣式的意義，“模式”一詞便兼有實物和形式的意義5.對于作為代數(shù)核心思想的“模式”一詞，主要有以下幾種不同的觀點：

①Randall I. Charles在NCTM 2005年會上，提出模式作為10個代數(shù)核心思想之一，是指一些數(shù)學(xué)情境中的數(shù)字和對象，可被用來定義關(guān)系和進行概括，是將現(xiàn)實情境和數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來的橋梁.

這一觀點，是本文最初的出發(fā)點，雖對“模式”做出的定義比較籠統(tǒng)，但揭示出了“模式”是來源于“情境”中，需要人們進行理性思維和提煉才能認識.正是由于它這種與“情境”的淵源和蘊涵的理性思維的性質(zhì)，使得它成為將二者緊密連接起來的關(guān)鍵.

②劉長明、孫連舉在對全美數(shù)學(xué)教師理事會2000年公布的《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標準》（以下簡稱NCTM2000《標準》）進行分析中，認為“模式指的是存在于現(xiàn)實情境中的數(shù)量形式，關(guān)系指的是模式中的數(shù)量之間的聯(lián)系，函數(shù)是對關(guān)系的抽象概括，是模式中的一種”6.

雖然“理解模式、關(guān)系和函數(shù)”是NCTM2000《標準》中貫穿13個年級的代數(shù)教學(xué)的主題之一，但它并沒有對“模式”做出明確的定義或說明.劉長明、孫連舉的分析，進一步闡明了“模式”是“數(shù)量形式”.但對“數(shù)量形式”這一說法，目前從數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點看還存在著一些爭議.

③徐利治、鄭毓信教授認為，數(shù)學(xué)模式是指“按照某種理想化的要求（或?qū)嶋H可應(yīng)用的標準）來反映（或概括地表現(xiàn)）一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式.當然，凡是數(shù)學(xué)模式在概念上都必須具有一義性、精確性,一定條件下的普適性及邏輯上的演繹性.”7

這一觀點是從數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度對“模式”進行了界定，較之前兩個觀點更抽象，是更一般的“模式”，不僅包括內(nèi)容上的“模式”，而且還包括數(shù)學(xué)方法以及思維的“模式”.作為本文對象的“模式”是要求學(xué)生掌握的代數(shù)核心思想之一，是學(xué)生認識規(guī)律的方法，不研究作為方法以及思維的“模式”的性質(zhì).這一觀點所界定的“模式”反映事物的“關(guān)系結(jié)構(gòu)”比“數(shù)量形式”的說法更加明確，也與觀點①更為接近.

綜合考慮以上觀點，本文采取的觀點是，模式是現(xiàn)實或數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)形式，它必須能夠反映出某類事物的關(guān)系結(jié)構(gòu).

2 模式思想對代數(shù)教學(xué)的意義

2.1 有助于學(xué)生獲得概念性理解

我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》（以下簡稱我國高中《標準》）中倡導(dǎo)讓學(xué)生獲得概念性理解.NCTM2000《標準》則將強調(diào)概念性理解和理解模式貫穿始終.以模式為代數(shù)核心思想之一的代數(shù)教學(xué)有助于學(xué)生獲得概念性理解.

代數(shù)作為數(shù)學(xué)最主要的分支之一，是以代數(shù)結(jié)構(gòu)作為研究對象的一門學(xué)科.所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)，就是指帶有一個或多個代數(shù)運算并且滿足一定運算規(guī)則的非空集合.學(xué)生從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)，正是以“感性”或“直觀”概念作為特例，逐步地拓展范圍，逐步地提高抽象層次.代數(shù)學(xué)這種高度抽象的理論與方法，較之其他數(shù)學(xué)分支尤為明顯.高中階段代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)與初中比較，有進一步符號化、知識點多、進度快的特點.學(xué)生在初中初步接觸符號化，從用字母表示數(shù)開始，逐步學(xué)習(xí)變量、代數(shù)式、方程和函數(shù)變量說的概念.進入高中階段，重新定義函數(shù),研究函數(shù)的性質(zhì)、典型函數(shù)的特點都要用到符合化的語言，公式的推導(dǎo)也要求能夠進行純粹的符號運算而且推理更加嚴密.如數(shù)列部分，大量的符號本身就已經(jīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的一個難點.因此，在高中代數(shù)教學(xué)中，使學(xué)生擺脫機械的操作與記憶，獲得概念性理解就顯得尤為重要了.而要獲得概念性理解，就要深入理解研究對象的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)，模式正是對事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的反映.

2.2 有助于代數(shù)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系

在對模式進行的概念分析中，我們已經(jīng)看到，模式正是來源于情境中，是將代數(shù)與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來的橋梁.荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提倡要讓學(xué)生學(xué)習(xí)多方面聯(lián)系的數(shù)學(xué)，這包括數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系兩方面.數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系使得數(shù)學(xué)構(gòu)成統(tǒng)一的整體，數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系對學(xué)生來說卻是“更自然與更重要的”，而且為了教有聯(lián)系的數(shù)學(xué)“還是應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗的現(xiàn)實之間去尋找聯(lián)系”8.中國高中《標準》代數(shù)部分中在每一部分都要求提供基本內(nèi)容的實際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的興趣，增強學(xué)生的應(yīng)用意識.同時，隨著對數(shù)學(xué)本身的不同理解，數(shù)學(xué)不再單單是“思維的體操”，而且它的工具價值越來越受到重視.學(xué)生不僅要借助現(xiàn)實情境來理解代數(shù)，而且要在情境中體會數(shù)學(xué)的用途，為適應(yīng)社會和選擇不同職業(yè)作好準備.

2.3 有助于發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力

代數(shù)的高度抽象性是其顯著特征之一.12到18歲的中學(xué)生正處在抽象思維迅速發(fā)展的時期.因此不能僅僅看重中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新、發(fā)散等思維能力的發(fā)展，也要重視抽象思維能力的培養(yǎng)，否則將事倍功半.就高中代數(shù)內(nèi)容而言，抽象程度與初中相比顯著提高.對于高中學(xué)生來說，抽象概括能力也應(yīng)在代數(shù)學(xué)習(xí)中得到提升.

在代數(shù)思維的理論框架中，模式屬于基本思想中的學(xué)習(xí)方程和數(shù)學(xué)建模的工具，與屬于代數(shù)思維工具中的概括相互對應(yīng).適當?shù)哪Ｊ娇梢越o學(xué)生提供觀察和口頭概括的機會，進而用代數(shù)符號記錄結(jié)果.學(xué)生在對所給情境中的隱藏的模式進行識別或是建構(gòu)的過程中，實際上就是在進行思維抽象層次的提升，模式分析則又是一次抽象層次的提升.如NCTM2000《標準》中，給出了三個不同的問題情境后，分別要求學(xué)生建構(gòu)其中的模式，發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達式，這是對現(xiàn)實問題的一次抽象.在這個基礎(chǔ)上，又要求學(xué)生比較這些函數(shù)（也就是在比較這些模式內(nèi)部或不同模式之間）的相同點和不同點，比如增減性或增長率等，這又是一次抽象.這樣的過程，才可以使學(xué)生的思維上升到一定高度.

參考文獻

［1］ 張繼平主編．新世紀代數(shù)學(xué)［M］．北京：北京大學(xué)出版社，2002：2

［2］ Kriegler, S. (2001). Just what is algebraic thinking? submitted for algebraic concepts in the middle school ［J］. A special edition of Mathematics Teaching in the Middle School

［3］ Woodbury, S. (2000). Teaching toward the big ideas of algebra ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School, Vol.6, Dec2000:226-229

［4］ 曹一鳴，王竹婷，數(shù)學(xué)“核心思想”代數(shù)思維的教學(xué)研究［J］，數(shù)學(xué)教育學(xué)報，Vol.16, No.1, 2007:8-11

［5］ 曹一鳴著.數(shù)學(xué)教學(xué)模式導(dǎo)論［M］.北京:中國文聯(lián)出版社,2002：33

［6］ 劉長明,孫連舉.中美初中學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容標準的比較研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報, Vol.13, No.4, 2004: 45-48.47

［7］ 徐利治. “數(shù)學(xué)模式觀”與數(shù)學(xué)教育及哲學(xué)研究中的有關(guān)問題［A］，徐利治論數(shù)學(xué)方法學(xué)［C］，濟南:山東教育出版社,2001：124

［8］ ［荷蘭］弗賴登塔爾著.陳昌平,唐瑞芬等編譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社,1995：74

作者簡介 曹一鳴，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，兼任中國數(shù)學(xué)會教育工作委員會副主任，全國高師數(shù)學(xué)教育研究會秘書長.