對(duì)“ｇＲ”的理解和應(yīng)用

在高中物理中，很多地方都會(huì)遇到“gR”這個(gè)比較隱蔽的條件。那么在不同的物理情景中，它有著怎樣的物理含義，又是如何推導(dǎo)出來(lái)，而我們?cè)鯓討?yīng)當(dāng)靈活應(yīng)用呢？本文將從以下四個(gè)方面對(duì)這方面問(wèn)題進(jìn)行淺析。

1 過(guò)山車軌道中的“gR”

在沒(méi)有支撐的情況下，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如果要做一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，過(guò)最高點(diǎn)的速度v要滿足一個(gè)條件，即vgR。無(wú)支撐的模型主要有兩種：一種是一根輕繩一端系小球，另一端固定，讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；另外一種是過(guò)山車軌道的模型。那么vgR這個(gè)比較隱蔽的條件是如何推導(dǎo)得出的呢？下面以過(guò)山車軌道模型為例。

例1 物體的質(zhì)量為m，沿光滑的彎曲軌道滑下，軌道的形狀如圖1所示，與彎曲軌道相接的光滑圓軌道的半徑為R，要使物體沿光滑圓軌道能通過(guò)最高點(diǎn)，物體至少應(yīng)從離軌道最低點(diǎn)多高的地方由靜止開(kāi)始滑下?



物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于只有重力做功，因此物體的機(jī)械能守恒，同時(shí)物體在圓軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)還要遵守圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。如圖2所示，假設(shè)把物體從與圓心等高的A1點(diǎn)處由靜止釋放，根據(jù)機(jī)械能守恒可知，物體到達(dá)B1點(diǎn)的速度為零，之后物體在A1CB1之間做往返運(yùn)動(dòng)。假設(shè)把物體從與圓軌道最高點(diǎn)D等高的A2點(diǎn)處由靜止釋放，物體能夠到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)D嗎？

物體通過(guò)B1向D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程要遵守圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖3所示，軌道對(duì)物體的壓力N與物體重力沿半徑方向的分力mgcosθ的合力提供向心力，由牛頓第二定律有：

N+mgcosθ=mv2R，

解得N=mv2R-mgcosθ。

當(dāng)物體從B1向D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒可知物體的速度v在不斷地減小，θ角也在不斷地減小，根據(jù)上式得軌道對(duì)物體的壓力N在不斷減小，當(dāng)N＝0時(shí)，物體即將脫離圓軌道，此時(shí)物體的速度還沒(méi)有為零，方向沿圓軌道切線向上，之后物體只受到重力作用，物體將在 B1D之間的某處B2做斜拋運(yùn)動(dòng)，將不能到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)D，如圖4所示。



假設(shè)物體從更高一點(diǎn)的位置A3由靜止釋放，如果沒(méi)有通過(guò)D點(diǎn)，物體將在更接近D點(diǎn)的位置B3處脫離圓軌道斜拋；從更高的位置A4靜止釋放物體，如果沒(méi)有通過(guò)D點(diǎn)，斜拋的位置將越接近D點(diǎn)，依次類推，只要高度滿足一定的條件（也是過(guò)最高點(diǎn)D的速度滿足一定的條件），物體就可以恰好通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)D。

物體恰好通過(guò)最高點(diǎn)D，意味著物體對(duì)軌道最高點(diǎn)的壓力恰好是零。分析物體在最高點(diǎn)的受力情況和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖5所示，重力恰好提供向心力：

mg=mv2DR，

解得：vD=gR。



所以過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度條件是：

在最高點(diǎn)的速度大于或等于gR。

當(dāng)然由機(jī)械能守恒定律列方程

mgh=12mv2D+mg·2R，

解得h=2.5R。

2 汽車安全地通過(guò)圓形拱橋中的“gR”

圓形拱橋的半徑為R，汽車質(zhì)量為m。現(xiàn)在汽車要?jiǎng)蛩俾拾踩ㄟ^(guò)圓形拱橋，汽車在圓形拱橋最高點(diǎn)處的速率v應(yīng)滿足什么條件呢？

顯然汽車在通過(guò)圓形拱橋時(shí)，受到了圓形拱橋的支撐。在最高點(diǎn)汽車的受力情況和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖6所示。由牛頓第二定律有：mg-N=mv2R，解得N=mg-mv2R。當(dāng) 汽車的速率v越大，則拱橋?qū)ζ嚨闹С至越小。當(dāng)N恰好為零時(shí)，即重力恰好提供向心力，得v=gR。此時(shí)汽車有一水平速度，又只受到重力作用，之后將做平拋運(yùn)動(dòng)，將不再沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，這是很危險(xiǎn)的。所以汽車過(guò)圓形拱橋時(shí)，最高點(diǎn)的速度應(yīng)小于gR。當(dāng)然如果拱橋不是圓形的，gR中的R應(yīng)該理解為最高點(diǎn)處的曲率半徑。

下面是這種模型在實(shí)際解題具體應(yīng)用。

例2 光滑圓柱固定在水平桌面上，質(zhì)量為m1的小球用輕繩與質(zhì)量為m2的小球相連并跨過(guò)圓柱，開(kāi)始時(shí)用手托住m2，使m1靜止在桌面上，如圖7所示，兩邊繩都豎直，放手后，m1上升，當(dāng)m1上升到最高點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷了，這時(shí)m1恰能做平拋運(yùn)動(dòng)，求：m2m1。



放手后，繩斷前，m1先豎直向上做加速直線運(yùn)動(dòng)，再繞光滑圓柱的表面做圓周運(yùn)動(dòng)。因?yàn)閳A柱表面光滑，空氣阻力不計(jì)，m1和m2組成的系統(tǒng)只存在動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，所以m1和m2組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。當(dāng)m1運(yùn)動(dòng)到圓柱最高點(diǎn)時(shí)，繩斷后，m1恰好可以做平拋運(yùn)動(dòng)，這說(shuō)明繩斷后瞬間m1只受到重力作用，對(duì)光滑圓柱體最高點(diǎn)的壓力恰好是零，受力如圖8所示。在繩斷前瞬間，m1沿法線方向的受力情況也是如此（沿切線方向受繩的拉力），但是m1在做圓周運(yùn)動(dòng)，重力恰好提供向心力：m1g=m1v21R，解得v1=gR。由此挖掘出了題目當(dāng)中的隱含條件。又知繩斷前瞬間m2的速度v2等于m1的速度v1，如圖9，再根據(jù)m1和m2組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，列出方程：m2g(R+2πR4)=12m1v21+12m2v22+m1g·2R，解得m2m1=51+π。

3 人造衛(wèi)星的“gR”

地球的半徑為R，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，貼著地球表面運(yùn)行，求衛(wèi)星的繞行速度v。

地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力：GMmr2=mv2r，解得v=GMr。由此可知衛(wèi)星貼著地球表面繞行時(shí)的速度是最大的繞行速度。由于此時(shí)的軌道是最低的軌道，發(fā)射衛(wèi)星時(shí)克服引力做的功最少，所需的發(fā)射速度是最小的，即第一宇宙速度。如果取地球表面為零勢(shì)能面，顯然衛(wèi)星最大的環(huán)繞速度等于衛(wèi)星的最小發(fā)射速度（第一宇宙速度）。

由于衛(wèi)星貼著地球表面繞行，軌道半徑r約等于地球半徑R，衛(wèi)星所受的引力約等于衛(wèi)星在地球表面受到的重力mg，由此可得：

GMmr2=mg=mv2R，

解得v=gR。

因此在這種物理情景下，v=gR的物理含義是衛(wèi)星最大的環(huán)繞速度，也是衛(wèi)星最小的發(fā)射速度（第一宇宙速度）。

對(duì)其它星球也有類似的規(guī)律，只是gR中的g和R分別表示該星球表面的重力加速度和該星球的半徑。

4 復(fù)合場(chǎng)（電場(chǎng)、重力場(chǎng)）中的“gR”

例3 在豎直平面內(nèi)有水平向右，場(chǎng)強(qiáng)為E＝ N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一根長(zhǎng)R＝2m的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m＝0.4kg的帶電小球，它靜止時(shí)與豎直方向成37°角，如圖11所示，如取小球在靜止位置時(shí)為電勢(shì)能和重力勢(shì)能的零勢(shì)能點(diǎn)．若小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．求：（1）小球帶電量q。（2）小球動(dòng)能最小值。（3）小球機(jī)械能的最小值。



小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到三個(gè)力的作用：重力、電場(chǎng)力和繩對(duì)小球的拉力，如圖12所示。由于重力和電場(chǎng)力是恒力，其合力F也是恒力，因此可將小球的受力情況等效為受兩個(gè)力作用：拉力T和F，其中F可認(rèn)為是小球在復(fù)合場(chǎng)中的“等效重力”，如圖13所示。假設(shè)有一個(gè)人站在傾角為37°斜面上看小球的運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這與繩系小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)完全類似，此時(shí)的“等效最低點(diǎn)”是A點(diǎn)，“等效最高點(diǎn)”是A關(guān)于O對(duì)稱的A′點(diǎn)。因此題中“小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)”這句話說(shuō)明：在“等效最高點(diǎn)”處“等效重力F”恰好提供向心力。由牛頓第二定律得：F=mv2R ，解得v=(Fm)R。如果將Fm看成小球在復(fù)合場(chǎng)中的“等效重力加速度”g′，則v=g′R。



由此可見(jiàn)，小球在無(wú)支撐的情況下，在復(fù)合場(chǎng)中做豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，在“等效最高點(diǎn)”處的速度仍然要滿足條件：vg′R。只是g′應(yīng)該理解為小球在復(fù)合場(chǎng)中的“等效重力加速度”。

在題目中的隱含條件v=(Fm)R被挖掘出來(lái)后，本例可以說(shuō)是迎刃而解。

對(duì)第1問(wèn)：qE=mgtan37°，

解得q=mgtan37°E=3×10-4C。

對(duì)第2問(wèn)：重力和電場(chǎng)力的合力即為“等效重力”F=（mg）2+(qE)2=54mg。圓運(yùn)動(dòng)的“等效最高點(diǎn)”的速度最小應(yīng)滿足F=mv2R，則最小動(dòng)能EK=12mg2=5J。

對(duì)第3問(wèn)：根據(jù)能量守恒可知，小球做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能和電勢(shì)能之和保持不變．當(dāng)電勢(shì)能最大時(shí)，機(jī)械能最小，在跟O等高的圓周左側(cè)點(diǎn)電勢(shì)能最大。所以從“等效最高點(diǎn)”到“電勢(shì)能最大點(diǎn)”的過(guò)程中，以題中規(guī)定零勢(shì)能點(diǎn)列能量守恒方程為：

12mv2+mg·2Rcos37°+qE·2Rsin37°

=qE(R+Rsin37°)+E機(jī)

解得小球的機(jī)械能最小值為E機(jī)=15.4J。

通過(guò)以上的實(shí)例分析，可以看到“gR”在不同的物理情景中，其含義有很大的不同，我們?cè)趹?yīng)用過(guò)程中切不可生搬硬套，還得仔細(xì)分析，正確使用。

（欄目編輯羅琬華）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。