解析一組帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)習(xí)題

摘要：幾何知識(shí)在處理勻強(qiáng)磁場中帶電粒子的圓周運(yùn)動(dòng)問題中起著非常重要的作用。本文就此從具體例子入手，從中總結(jié)一下解決此類問題的一般方法。

關(guān)鍵詞：勻強(qiáng)磁場；圓周運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2008)4(S)-0044-2

物理習(xí)題千變?nèi)f化的情境和問題設(shè)計(jì)成就了異彩紛呈的解題方法和技巧，其中物理規(guī)律與幾何知識(shí)“聯(lián)手”求解的方式，在處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題中頻繁出現(xiàn)。同時(shí)，此類問題也是高中物理習(xí)題教學(xué)內(nèi)容中不可或缺的重要組成部分。

例1 （2007年全國高考理綜卷25題）兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖1所示。在y>0，o0，x＞a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q＞0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直或水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從接近于0到某一最大值之間的各種數(shù)值。已知速度最大的粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5，在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。不計(jì)粒子的重力，試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍。

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析與解 速度小的粒子將在0

（1）如果讓沿環(huán)狀勻強(qiáng)磁場的內(nèi)、外邊界的半徑方向射入場區(qū)的所有粒子都不能穿越磁場，則具有這樣的運(yùn)動(dòng)方向的粒子的最大速度是多少？

（2）沿磁場內(nèi)邊界的切線方向射入場區(qū)的粒子中，有的能夠穿越場區(qū)，有的不能穿越場區(qū)，求這種情況下不能穿越場區(qū)的粒子中具有的最大速度是多少？

（3）若要求沿各個(gè)方向射入場區(qū)的所有粒子都不能穿越磁場，則粒子的最大速度是多少？

（2）設(shè)沿磁場內(nèi)邊緣切線方向射入磁場的所有粒子中，不能穿越磁場的最大軌道半徑為r2，對應(yīng)的最大速度為v2。則具有這一最大速度的粒子在磁場中的軌跡與環(huán)狀磁場的內(nèi)、外邊界相切，其在磁場中的一段軌跡如圖4中的以O(shè)2為圓心的實(shí)線圓弧所示。

析與解 如圖6所示，先作出沿y軸正方向射入磁場的電子的軌跡（實(shí)線圓弧OA），其軌跡圓心為O1，A點(diǎn)為射出磁場的位置；再作出沿其它任意兩個(gè)不同方向入射的電子軌跡（實(shí)線圓弧OC、OD），軌跡圓心分別為O2、O3，射出磁場的位置分別為C、D。連接O1A，O2C，O2O，O3D，O3O，則這些線段相等，為電子的軌道半徑r，且線 段O1A、O2C、O3D均為豎直線。由于O1、O2、O3、F是在以O(shè)點(diǎn)圓心的四分之一圓上，所以A、C、D、O應(yīng) 處于以G點(diǎn)為圓心的四分之一圓上，如圖中兩段虛線圓弧所示。于是，實(shí)線圓弧OA和虛線圓弧ODCA所圍區(qū)域的面積即為所求。

通過對上述關(guān)于有界勻強(qiáng)磁場的極值總的解析，不難得出此類問題的簡約解題方略。

（1）作圖是解決問題的關(guān)鍵所在。作圖通常要從特殊之處著手，如做出進(jìn)、出磁場的位置間的軌跡或?qū)?yīng)臨界情況的軌跡。作圖要正確、有效、清晰、簡明，以利于觀察和求解。

（2）觀察幾何圖形，挖掘出必要的幾何關(guān)系，再運(yùn)用物理規(guī)律，即可達(dá)到正確求解的目的。

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。