數(shù)感教學何以必要

吳仲和

背景

凱瑟林老師是美國加州具有12年教齡的小學三年級老師。她對數(shù)學教學的信念是：探索學習能夠使學生真正懂數(shù)學，老師應(yīng)該提供學生探索的機會來啟迪他們對數(shù)學的想象。全班共32名學生。本課授課時間為45分鐘。

課例

凱瑟林老師首先告訴學生們這節(jié)課的目的：“同學們，我們在生活中經(jīng)常會遇到許多大的數(shù)。比如，你家房子的貸款、足球場的觀眾數(shù)、我們地球的重量以及華爾街每天股票的交易量，等等。今天的課，我們就來討論大數(shù)的意義?！?/p>

凱瑟林老師的課從提問開始：

凱瑟林：同學們，請你們告訴我我們的教室里有多少學生？

（學生們數(shù)教室里的學生。）

學生：32個。

凱瑟林：非常好。我再問你們：請你與你鄰座的同學討論并估計一下，如果每個學生都有一張書桌，那么我們的教室可以容納多少學生？

（學生們討論。）

塔米：我覺得可以容納64個學生。

凱瑟林：為什么呢？

塔米：我覺得這個房間可以容納兩倍的學生。

凱瑟林：很好。同學們請注意了，她說了兩倍。其他同學呢？

尼克：我覺得可以容納100個學生。

凱瑟林：請你解釋一下。

尼克：我覺得我們現(xiàn)在32個學生只占了一小部分，所以我估計整個教室可以容納100個學生。

凱瑟林：很好。同學們請注意他說了“估計”這個詞?，F(xiàn)在，我們來繼續(xù)我們的問題。

凱瑟林：如果我們學校每個年級有3個班，那么，我們學校有多少人呢？為什么？

（學生們討論。）

盧比達：我覺得大約有600人，因為每個年級大約有100個人，六個年級就有大約600人。

凱瑟林：很好。同學們請注意，盧比達用了幾次“大約”，這是非常好的估算技巧。其他同學有沒有不同想法？

艾迪：我覺得大約有700人，因為學生有600人，而我們還有老師和校長以及其他工作人員大約100人，所以共計700人。

凱瑟林：艾迪有非常好的想象。但是，我們的工作人員沒有100人，所以我們學校的學生大約有600人，如果加上工作人員，我們應(yīng)該有大約650人。雖然如此，我仍然感謝艾迪的美好想象。

此刻，凱瑟林老師把教學內(nèi)容轉(zhuǎn)換到100，1000，10000等大數(shù)上。她還是用提問的方式。

凱瑟林：同學們，你們能用100這個數(shù)舉個生活中的例子嗎？比如，你有100個什么東西，等等。

（學生們討論。）

杰夫：我有100個玩具汽車。

克里斯：我有100張籃球卡。

凱瑟林老師又繼續(xù)問：什么東西價值100元錢？

（學生們討論。）

馬克：我的游戲機價值100元錢。

蘇珊：我哥哥的自行車價值100元錢。

凱瑟林老師繼續(xù)向?qū)W生提出有關(guān)數(shù)感方面的問題。這些問題包含學生日常生活中與大數(shù)有關(guān)的例子。為了使學生對大數(shù)有深刻的理解，凱瑟林老師給出了大數(shù)與日常生活結(jié)合的例子。她讓同學們猜想一下，如果他們用一秒鐘數(shù)一個數(shù)，那么數(shù)1，000（一千）需要多長時間呢？數(shù)1，000，000（一百萬）需要多長時間呢？數(shù)1，000，000，000（十億）又需要多長時間呢？凱瑟林老師進一步解釋說：一分鐘等于60秒，一小時等于3600秒（60分），一天等于86，400秒（24小時），一個月等于2，592，000秒（30天），一年等于31，104，000秒（12個月）。因此，數(shù)1，000（一千）約需要17分鐘（因為1000÷60≈17）；數(shù)1，000，000（一百萬）約需要12天（因為100，000÷86，400≈12）；數(shù)1，000，000，000（十億）約需要32年（因為1，000，000，000÷31，104，000≈32）。她重復這個數(shù)以便讓學生記憶深刻：數(shù)1，000約需要17分鐘，數(shù)1，000，000約需要12天，而數(shù)1，000，000，000約需要32年。

凱瑟林老師在確認學生們對大數(shù)有一定的認識后，開始讓他們參與數(shù)學活動來進一步理解和應(yīng)用大數(shù)。她把學生按照座位的順序組成四人一組，讓每組學生們選擇一個各數(shù)位數(shù)字不同的五位數(shù)，比如，23，456、34，567等，告知每組學生討論以下問題并由每個學生分別承擔不同角色來向全班匯報。

（1）將這五個數(shù)字重新排列順序使之成為最大的數(shù)，說出幾個萬、幾個千、幾個百、幾個十、幾個一以及你的最大數(shù)與100，000的差距。

（2）將這五個數(shù)字重新排列順序使之成為最小的數(shù)，說出幾個萬、幾個千、幾個百、幾個十、幾個個以及你的最小數(shù)與10，000的差距。

（3）將這五個數(shù)字重新排列順序使之成為介于最大數(shù)和最小數(shù)之間的中間數(shù)，說出幾個萬、幾個千、幾個百、幾個十、幾個個以及這個數(shù)與100，000的差距。

（4）創(chuàng)造一個實際情景來使用最大數(shù)、最小數(shù)和中間數(shù)。

在學生們討論期間，凱瑟林老師在各小組間走動，與學生們交流，回答學生的問題，并適時提出問題來挑戰(zhàn)學生的錯誤。學生討論了大約10分鐘，凱瑟林老師確認各組有了結(jié)果后，讓學生們開始匯報他們討論的結(jié)果。

小組1選擇的數(shù)是12，345。

學生1：最大的數(shù)是54，321，這個數(shù)有5個萬，4個千，3個百，2個十，1個一，這個數(shù)與100，000的差距是45，679。

學生2：最小的數(shù)是12，345，這個數(shù)有1個萬，2個千，3個百，4個十，5個一，這個數(shù)與10，000的差距是2，345。

學生3：中間數(shù)可以是21，345。

凱瑟林：等一等，杰米，你為什么說“可以是”？

學生3（杰米）：因為有很多個中間數(shù)。

凱瑟林：謝謝你，同學們請注意中間數(shù)有很多個數(shù)。杰米，請你繼續(xù)。

學生3（杰米）：中間數(shù)可以是21，345，這個數(shù)有2個萬，1個千，3個百，4個十，5個一，這個數(shù)與100，000的差距是78，655。

學生4：壘球場的觀眾有54，321人，籃球場的觀眾有12，345人，足球場的觀眾有21，345人。

凱瑟林：很好。第一組的同學顯然喜歡運動。雖然他們的數(shù)字與實際還有些差距，但他們對大數(shù)的理解還是很好的。一般來說，壘球場的觀眾大約有60，000人，籃球場的觀眾大約有18，000人，足球場的觀眾有70，000人。

小組2選擇的數(shù)是13，579，他們在回答了問題1至問題3后，舉例說：在城市的百貨商場，周六和周日最忙，每天接待97，531人，周四和周五比較忙，每天接待51，379人，周一到周三不忙，每天接待13，579人。

凱瑟林：很好。第2組同學顯然很有生活經(jīng)驗。他們從日常生活中發(fā)現(xiàn)線索，同學們?nèi)缬袡C會可以去百貨商場核實一下這些數(shù)據(jù)。

小組3選擇的數(shù)是56，789，小組4和小組6選擇的數(shù)也是12，345，小組5選擇的數(shù)是23，456，他們都能正確回答問題1到問題3，舉例都很有想象力：

小組3：一個袋子，如果裝米能裝98，765顆，如果裝大豆能裝56，789顆，如果裝玉米能裝78，956顆。

凱瑟林：很好。第3組同學將視線轉(zhuǎn)移到農(nóng)村。感謝你們豐富的想象力。同學們?nèi)缬袡C會可以親自數(shù)一數(shù)。

小組4：教室里最厚的書大約有54，321個字，最薄的書大約有12，345個字，中間那本書有45，321個字。

凱瑟林：很好。第4組同學顯然很富有想象力。他們從教室里發(fā)現(xiàn)線索。

小組5：一本書有65，432個字符，23，456行和43，256個字。

凱瑟林：很好。第5組同學舉了一個同樣的書的例子，但他們的想象力卻與第4組同學不一樣。

小組6：爾灣市有54，321戶居民，41，325輛汽車，12，345戶居民家里有寵物。

凱瑟林：很好。第6組同學給了一個城市居民的例子。你們的想象力很好，但是，汽車好像少了點。如果改成41，325戶居民家有互聯(lián)網(wǎng)，你們看怎么樣？

第6組學生表示同意凱瑟林老師的建議。

凱瑟林：通過這節(jié)課，我希望大家對大數(shù)有個深刻的概念。就像我們已講過的數(shù)數(shù)一樣，在我們的生活中，我們會時常用到大數(shù)。

作為這節(jié)課的結(jié)束，凱瑟林老師讓學生回家查看報紙、雜志、互聯(lián)網(wǎng)，然后舉出一個例子來說明何時用百萬（million）、十億（billion）和兆（trillion），作為明天課開始的討論。

評述

凱瑟林老師在這節(jié)課采用數(shù)字與日常生活相結(jié)合的教學方法來使學生掌握“大數(shù)”的基本思想，其目的是提高學生的“數(shù)感”。那么，什么是“數(shù)感”呢？數(shù)感就是人們對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感覺，它體現(xiàn)人們對什么是數(shù)、數(shù)的關(guān)系、數(shù)的大小和數(shù)的運算的一種懂得的程度以及一種無意識的對數(shù)的感知。需要指出的是，數(shù)感不是一個數(shù)學內(nèi)容單元，也不是一個單純的課堂活動或游戲，它是一種關(guān)于數(shù)的思想方法。培養(yǎng)學生的數(shù)感，尤其是低年級學生的數(shù)感對學生理解數(shù)學以及數(shù)的應(yīng)用有極大的幫助。我們知道，兒童在學習數(shù)時，他們的理解程度是不一樣的。有的兒童對數(shù)的理解深刻，有的則不深刻。比如，對數(shù)23的理解，不一定所有的兒童都知道數(shù)23是由兩個“10”和3個“1”組成；再比如，對23×35，不一定所有的學生都知道23×35的結(jié)果是由4個數(shù)組成的：即20×30，20×5，30×3和3×5（其答案是23×35=600+100+90+15=805）。兒童對數(shù)字的深刻理解（數(shù)的表達、數(shù)的關(guān)系以及數(shù)的系統(tǒng)）對他們今后進一步學習數(shù)學是有意義的和有幫助的。另外，兒童在學習數(shù)字的時候，不一定所有的兒童都能夠感受到數(shù)字的大小與他們的日常生活有關(guān)系，即什么時候用大的數(shù)字，什么時候用小的數(shù)字。顯然，培養(yǎng)數(shù)感對提高兒童對數(shù)的理解和應(yīng)用是有意義的。可以這么說，沒有數(shù)感的數(shù)學學習，可能只會解題，而不懂數(shù)學概念和應(yīng)用。

凱瑟林老師的這節(jié)課有3個特點。（1）通過有關(guān)大數(shù)的具體例子，使學生們對大數(shù)究竟有多大有一個具體的了解。例如，凱瑟林老師解釋數(shù)1，000需要約17分鐘，數(shù)1，000，000需要12天，數(shù)1，000，000，000需要32年。這個例子形象地表現(xiàn)大數(shù)1，000、1，000，000和1，000，000，000的不同。正如課后筆者與學生交談，問他們這節(jié)課學到了什么？有相當多的學生提及這個例子并說明他們從這個例子里知道了數(shù)大小的不同。凱瑟林老師借用這些學生們?nèi)粘Ｉ罾锸煜さ氖挛飦韼椭鷮W生直觀理解數(shù)的大小以增強數(shù)感?？梢哉f，凱瑟林老師的這個例子能夠有效地喚起低年級學生對大數(shù)的理解和記憶。（2）讓孩子們學習重要的數(shù)學知識，使他們對所學的數(shù)學知識加以發(fā)展延伸，刺激孩子們的想象（對大數(shù)的想象），讓孩子有一個“迷?！焙托盐虻倪^程。（3）雖然數(shù)感在許多時候包含數(shù)的估算和心算，但近年來數(shù)感的研究趨勢朝著對數(shù)的認識和數(shù)的使用場合的方向發(fā)展。因此，課堂上關(guān)于數(shù)感的一個重要的教學內(nèi)容就是鼓勵學生運用估算，選擇和想象他們自己對數(shù)的使用的理解，特別是對大數(shù)的使用的理解。其目的是讓學生對大數(shù)有一個感覺的過程。凱瑟林老師的課貫穿著學生的想象和估算。讓學生分組活動，其目的不僅讓學生們對“數(shù)位”的概念有進一步的理解，更重要的是讓學生通過自己創(chuàng)造的具體例子來進一步理解大數(shù)的意義。從學生們報告的例子里，我們很容易感覺到這一點。另外，對大數(shù)應(yīng)該從日常生活中不同方面的數(shù)感來理解。從學生們舉出的各方面的例子，所有的學生可以感受到大數(shù)在不同場合的應(yīng)用。綜上所述，“數(shù)感”的教學應(yīng)基于數(shù)字本身、數(shù)字的運算和數(shù)字的聯(lián)系。數(shù)字本身是指數(shù)字的關(guān)系和大??；數(shù)字的運算包含心算和估算；數(shù)字的聯(lián)系是指數(shù)字與真實世界的聯(lián)系。凱瑟林老師的這節(jié)課貫穿了這三個方面的教學內(nèi)容。