奇異值數(shù)字水印算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

[摘要]本文提出了一種利用奇異值分解的圖像數(shù)字水印算法，針對(duì)的是在水印提取之前遭受了未知幾何攻擊的圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的算法對(duì)放大、旋轉(zhuǎn)等幾何攻擊以及對(duì)剪切，噪聲攻擊是穩(wěn)健的，而且此水印在受到了上述的幾何攻擊后仍能夠被有效的提取。

[關(guān)鍵詞]奇異值分解 數(shù)字水印 幾何攻擊

隨著多媒體技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅猛發(fā)展及廣泛應(yīng)用，對(duì)數(shù)字媒體的保護(hù)已經(jīng)成為一個(gè)迫在眉睫的問(wèn)題，尤其是對(duì)數(shù)字圖像的保護(hù)。由于傳統(tǒng)加密方法對(duì)多媒體內(nèi)容保護(hù)能力有限，因此一種新的保護(hù)途徑應(yīng)運(yùn)而生，即數(shù)字水印技術(shù)。雖然已經(jīng)出現(xiàn)了許多對(duì)常見(jiàn)的信號(hào)處理穩(wěn)健的數(shù)字水印算法，但是非常微小的幾何攻擊都能夠使這些水印失效。奇異值分解的圖像數(shù)字水印算法對(duì)放大、旋轉(zhuǎn)等幾何攻擊以及對(duì)剪切攻擊是穩(wěn)健的是穩(wěn)健的。

數(shù)字圖像的奇異值分解。數(shù)值分析中的奇異值分解是一種將矩陣對(duì)角化的數(shù)值算法。在圖像處理中應(yīng)用的主要理論背景是：(1)圖像奇異值的穩(wěn)定性非常好，當(dāng)圖像被施加小的擾動(dòng)時(shí)，圖像的奇異值不會(huì)有大的變化；(2)奇異值所表現(xiàn)的是圖像的代數(shù)特性。

從線性代數(shù)的角度看，一幅數(shù)字圖像可以看成是一個(gè)非負(fù)矩陣。用來(lái)表示這樣一個(gè)圖像矩陣，其中表示實(shí)數(shù)域。矩陣的奇異值分解如下：

其中和都是正交矩陣，，且是或的奇異值，其中是的秩，是或特征值的平方根。分別是的左奇異向量和右奇異向量。因?yàn)?/p>

；

所以的列向量是的特征向量，的列向量是的列向量，并且它們所對(duì)應(yīng)的特征值都是的奇異值的平方。

基于的圖像塊分類。根據(jù)的特性，人眼對(duì)不同類型圖像區(qū)域的敏感程度依次為:對(duì)圖像平滑區(qū)域的噪聲最敏感;對(duì)圖像的邊緣信息較為敏感；對(duì)紋理區(qū)域的噪聲不敏感。根據(jù)這個(gè)特性，我們希望在圖像的紋理區(qū)域進(jìn)行水印的嵌入。文獻(xiàn)基于圖像塊的灰度均值、熵和方差等統(tǒng)計(jì)特性將圖像塊進(jìn)行劃分。

圖像處理與信息論的相關(guān)理論表明，方差反應(yīng)各像素灰度值與圖像平均灰度值的總的離散程度，而熵則表征圖像所含信息的多少，圖像紋理區(qū)域熵值較大而方差較小。在這里，我們引入，其中表示熵，為標(biāo)準(zhǔn)差，顯然熵值越大，方差越小，值越大。通過(guò)引入值，我們?cè)趯?duì)圖像的各分塊進(jìn)行比較時(shí)，就不必對(duì)方差和熵值分別進(jìn)行比較，而統(tǒng)一對(duì)值大小比較即可，這樣對(duì)于各分塊的比較變得簡(jiǎn)單明了，同時(shí)也利于程序的編寫(xiě)。

水印的嵌入與提取。算法步驟如下：水印嵌入：首先將圖像進(jìn)行分塊，計(jì)算每塊圖像的值，選取值最大的塊，進(jìn)行奇異值分解，將水印嵌入到進(jìn)行奇異值分解的圖像塊中。方法如下：水印是由服從高斯分布的實(shí)數(shù)序列組成，其中相互獨(dú)立，為水印的長(zhǎng)度。挑選出除了以外的個(gè)數(shù)值最大的奇異值組成的單調(diào)遞減序列，之所以排除是因?yàn)檫h(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它的奇異值。對(duì)的改變會(huì)導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。根據(jù)將水印嵌入到中，得到一個(gè)嵌入后的奇異值序列。其中是一個(gè)比例參數(shù)，用來(lái)調(diào)節(jié)改變的程度，從而控制嵌入水印后的圖像質(zhì)量。將回代入中，生成，然后再就得到嵌入水印后的圖像塊。由于調(diào)整后的奇異值序列可能不符合單調(diào)遞減的順序，而在奇異值分解后奇異值總是遞減排列的，所以根據(jù)的遞減順序?qū)χ袑?duì)應(yīng)的排序，生成序列。用它來(lái)標(biāo)明的奇異值及其原始順序。用它來(lái)標(biāo)明的奇異值及其原始順序。

提取水印時(shí)需要：嵌入水印的圖像(可能已經(jīng)遭受到攻擊)、參考水印、奇異值序列和比例參數(shù)。

將進(jìn)行分塊，確定原先嵌入水印的圖像塊，設(shè)為，并從中提取出可能已遭到破壞的水印并進(jìn)行檢測(cè)：

(1)進(jìn)行奇異值分解，得到按遞減順序排列的奇異值向量。

(2)將按單調(diào)遞減順序排列，還原成。

(3)根據(jù)和，使中的奇異值與的相應(yīng)元素對(duì)齊，并從中提取出奇異值序列。

(4)提取水印。其中

(5)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)系數(shù)：

利用來(lái)測(cè)量與相似程度。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：我們使用256級(jí)灰度圖像Lena.bmp為例，來(lái)測(cè)試本水印算法對(duì)各種幾何攻擊的穩(wěn)健程度。Lena.bmp的大小為256€?56，先將圖像進(jìn)行64€?4分塊，再嵌入水印。本文只給出算法對(duì)放大、旋轉(zhuǎn)等幾何攻擊以及對(duì)剪切攻擊的結(jié)果。

分塊的大小為64€?4，取水印長(zhǎng)度N=50。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：原圖像（圖1）。

未攻擊時(shí)，在原圖像的下半部分加入水印，=0.3，圖像為（圖2）。

當(dāng)=0.3時(shí)，峰值信噪比psnr= 46.9693；

從上面各幅圖像中提取的水印并給出相關(guān)系數(shù)r=0.9991

下面我們對(duì)嵌入水印的圖像施加各種攻擊

旋轉(zhuǎn)90度，=0.3，相關(guān)系數(shù)r=0.9991

橫向拉伸2倍，=0.3，相關(guān)系數(shù)r=0.9991

縱向拉伸2倍，=0.3，相關(guān)系數(shù)r=0.9991

可見(jiàn)本文的算法對(duì)常見(jiàn)的幾何攻擊是非常穩(wěn)健的。經(jīng)過(guò)幾何攻擊后的圖像可以非常穩(wěn)健的提取水印。

現(xiàn)在我們施加其他攻擊：

裁減左半幅圖像，=0.3，從中提取的水印與原始水印的相關(guān)系數(shù)r=0.9991

裁減下半幅圖像，=0.3，從中提取的水印與原始水印的相關(guān)系數(shù)r=0

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法對(duì)剪切有一定的抵抗性，關(guān)鍵是剪切的位置，若把嵌入水印的圖像塊剪切掉，那不能提取出水印；若沒(méi)有剪切掉嵌入水印的塊，則可以非常穩(wěn)定的提取出水印。

本文提出了一種能夠抵抗一般幾何攻擊的數(shù)字水印算法，由服從高斯分布的隨機(jī)數(shù)組成的水印被嵌入到數(shù)字圖像的奇異值之上，并考慮到人類視覺(jué)系統(tǒng)特性的影響，引入了基于統(tǒng)計(jì)量熵值和方差的參數(shù)T，作為我們劃分不同種類塊的標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本水印算法對(duì)這些幾何攻擊具有很好的穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn):

[1]劉瑞禎，譚鐵牛.基于奇異值分解的數(shù)字圖像水印方法[J].電子學(xué)報(bào)，2001，29(2):pp.168~171.

[2][美]G..H.戈盧布C.F范洛恩[J].《矩陣計(jì)算》，8.18.6.

[3]阮秋奇.數(shù)字圖像處理學(xué)[M].電子工業(yè)出版社.

作者單位:姜學(xué)思、韓秀莉，山東大學(xué)威海分校電教中心

劉寧，煙臺(tái)汽車工程職業(yè)學(xué)院電子工程科

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