要重視相似三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，課本特別強(qiáng)調(diào)：“表示兩個(gè)三角形相似要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上．”也就是說，我們要重視相似三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．但是，在解決三角形相似的一些實(shí)際問題時(shí)，有不少同學(xué)往往會(huì)忽略這一點(diǎn)．下面三題的問題就出在這里．

例1S老師提出了這樣一道思考題：如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，試問△AOB與△DOC是否相似？

Z同學(xué)對(duì)此題作了如下解答：

答：△AOB∽△DOC．理由：因?yàn)锳D∥BC，所以△AOD∽△BOC，所以 = ，所以 = ．又因?yàn)椤螦OB＝∠DOC，所以△AOB∽△DOC．

你認(rèn)為該同學(xué)的解答是否正確？并說明理由．

分析表面看來(lái)，這個(gè)同學(xué)的解答好像是沒有問題的，但事實(shí)上△AOB與△DOC不一定相似，問題出在哪里呢？仔細(xì)推敲他的解答過程，由AD∥BC，可知∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，那么這兩個(gè)相似三角形的三組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)應(yīng)分別為A與C，D與B，O與O，則Z同學(xué)的解答中“△AOD∽△BOC”的正確寫法為：△AOD∽△COB．從而此相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的比例式應(yīng)為： = ．觀察此比例式可知，成比例的四條線段不能構(gòu)成△AOB與△DOC的對(duì)應(yīng)邊．因此，不能判定△AOB與△DOC相似．由此可知，該同學(xué)的解答不正確．

例2一個(gè)鋼筋三角架的三邊長(zhǎng)分別是20cm、50cm、60cm，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架，而只有長(zhǎng)30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許有余料）作為另兩邊，則此鋼筋三角架三邊所有可能的長(zhǎng)度為．

錯(cuò)解將50cm的鋼筋截成兩段，并設(shè)被截成的兩段的長(zhǎng)分別為xcm和ycm．

因?yàn)橐龅囊粋€(gè)鋼筋三角架與原鋼筋三角架相似，則根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得 = = ．解之，得x＝10，y＝25．所以此鋼筋三角架的三邊的長(zhǎng)分別為10cm、25cm、30cm．

分析解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求截得的兩邊的長(zhǎng)．而此題中邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系顯然具有不確定性，因此，確定邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系又是解決這個(gè)問題的前提條件和關(guān)鍵，錯(cuò)解就是忽略了這一點(diǎn)．

正解以30cm的鋼筋為一邊時(shí)，設(shè)另兩邊的長(zhǎng)分別為xcm、ycm．因要做的一個(gè)鋼筋三角架與原鋼筋三角架相似，則根據(jù)邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得比例式 = = 或 = = 或 = = ．解之，得x=75，y＝90（不滿足x＋y≤50，舍去）或x＝12，y＝36或x＝10，y＝25．

以50cm的鋼筋為一邊時(shí)，設(shè)另兩邊的長(zhǎng)分別為xcm、ycm，則x+y

≤30＜50，兩邊之和小于第三邊，不能構(gòu)成三角形.

因此，此鋼筋三角架三邊的長(zhǎng)分別為12cm、30cm、36cm或10cm、25cm、30cm．

例3如圖2所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），試問：t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

錯(cuò)解當(dāng)△QAP與△ABC相似時(shí)，有 = ， 即 = ， 解之， 得t＝1.2．

答：t為1.2秒時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

分析由題意，知∠QAP＝∠B＝90°，要求“以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似”，另一組對(duì)應(yīng)角尚不明確，故需分類討論．

因?yàn)椤螿AP＝∠B＝90°，故

（1）當(dāng)∠AQP＝∠BAC時(shí)，有Rt△AQP∽R(shí)t△BAC，得 = ，即 = ，解之，得t＝1.2；

（2）當(dāng)∠AQP＝∠BCA時(shí)，有Rt△AQP∽R(shí)t△BCA，可得 = ， 即 = ，解之，得t＝3．

答：t為1.2秒或3秒時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

重視相似三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意對(duì)“對(duì)應(yīng)”的理解，一方面能使我們易于分清相似三角形中對(duì)應(yīng)的邊和角，另一方面還能使我們進(jìn)一步理清實(shí)際問題中對(duì)應(yīng)的各種可能．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文